S(PS/7H-Q89 + RSr+ . . .)m = o
C'est la formule générale de la Dynamique pour le mouvement d'un système quelconque de corps.
6. Il est visible que cette formule ne diffère de la formule générale de la Statique, donnée dans la sect. II de la P partie, que par les termes dus aux
forces ^, > ~d* * »., y qui produisent 1 accélération du corps m suivant
les prolongements des trois coordonnées Xj /, z. En effet, nous avons vu dans la section précédente (art. 11), que ces forces étant prises en sens contraire, c'est-à-dire étant regardées comme tendantes à diminuer les lignes .r, y, Zy doivent faire équilibre aux forées actuelles P, Q, R, etc. , qui sont supposées agir pour diminuer les lignes /?, ç, r, etc. ; de sorte qu'il n'y a
qu'à ajouter aux moments de ces dernières forces, ceux des forces m -jj ?
*"^^' ^T^ pour chacun des corps ni, pour passer tout d'un coup des conditions de l'équilibre aux propriétés du mou'^ement (art. 4, sect. II, part. I).
7. Les mêmes règles que nous avons données dans la sect. II de la I'^ partie, pour le développement de la formule générale de la Statique, s'appliqueront donc aussi à la formule générale de la Dynamique.
Il faudra seulement observer,
i"". Que les différences que nous avions marquées par la caractéristique ordinaire dy pour représenter les variations, seront toujours marquées dorénavant par la caractéristique S ;
2**. Que la caractéristique d sera toujours relative au temps «, ainsi que la caractéristique correspondante / pour les intégrations, excepté dans les differenées partielles, oii il est indiffèrent quelle caractéristique on y emploie;
3°. Que, pour représenter les éléments d'une courbe ou d'une surface, ou, en général, d'un système composé d'une infinité de particules, on emploiera la caractéristique D, qui répond à la caractéristique intégrale S. Ainsi^ lorsqu'on voudra étendre au mouvement les formules que nous avons données
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. aSÔ
pour réquilibre, dans les chap. III et IV de la sect. V de la I** partie, il faudra changer partout la caractéristique denDy pour avoir l'expression de la somme des moments de toutes les forces.
8. Lorsque le mouvement se fait dans un milieu résistant, on peut regarder la résistance du milieu comme une force qui agit en sens contraire de la direction du corps, et qui peut, par conséquent, être supposée tendante à un point de la tangente.
Supposons que la résistance soit R ; pour avoir son moment — RSr, il n'y a qu'à considérer qu'on a, en général,
r=^{x- ly + (r - my -h (z - n)\ l, niy n étant les coordonnées du centre de la force R ; donc
8r = ~ ■ Sx H- •^~ Sr H "^^^ Bz.
Prenons le centre de la force R dans la tangente de la courbe décrite par le corps et très-près de lui; on fera, pour cela,
X — l:=dx^ y — m^^-dfj z — n=-dz^
ce qui donnera, en prenant ds pour l'élément de la courbe,
X — / dx Y — m dy z-'^n dz
r ds r ds r ds
et, par conséquent.
Si le milieu résistant était en mouvement, il Êiudrait composer ce mouve-^ ment avec celui du corps pour avoir la direction de la force de résistance. Nommons doc, d^j dy les petits espaces que le milieu parcourt parallèlement aux axes des coordonnées Xj y, z, pendant que le corps décrit l'espace ds; il n'y aura qu'à retrancher ces quantités de dx, dy, dz pour avoir les mou--
vements relatifs; et, comme ds = ^{{Ix^ + dy^ -h dz^)y si l'on fait
da = \/{dx — day H- {dy — d^y -+- (dz — dyy, on aura, dans ce cas,
5, dx — da fs dy — d^ ^ dz — df^
Sr = — -j Sx H- -^ — î- ùy H T — - Sz.
d(j d7 "^ ad
Méc. anal, I. 3o*.
236 MÉGANIQUE ANALYTIQUE.
A l'égard de la résistance R, elle est ordinairement une fonction de la vitesse -^l ^^is dans le cas où le milieu est en mouvement, elle sera fonction de la vitesse relative ^«
De cette manière, on pourra appliquer nos formules générales aux mouvements qui se font dans des milieux résistants, sans avoir besoin d'aucune considération particulière à ces sortes de mouvements.
9. Il est important de remarquer que l'expression d^xBx-hd^jr^X-hd^z8z, par laquelle la formule générale de la Dynamique diffère de celle de la Statique (art. 5), est indépendante de la position des axes des coordonnées
Car, supposons qu'à la place de ces coordonnées on substitue d'autres coordonnées rectangles x\y\ z' qui aient la même origine, mais qui se rapportent à d'autres axes. Par les formules de la transformation des coordonnées, données dans l'art. 10 de la sect. BŒ de la P partie, on a
x = ax' H- ^y' + yz\
z = oc"x'^ fy'+ y"z'.
DifTérentions ces expressions de a:, /, z, en y regardant tous les coefficients ^> jS» >> a', etc., comme constants, et les nouvelles coordonnées x\y\ z' comme seules variables, on aura
d^x = ad^x' H- /3rfy H- yd^z\
dy = oc'd'x' + ^'dy H- yd'z\
d'z = 0L'd'x'+ /3 Vy + y'd'z'.
On aura de même,
^x=olIx' -h|38/ -h^Sz',
Sj = a'ix' -F p'S/ H- y Sz', 8z = a''Sa?'-h/3^S/H-/'Sz'.
Substituant ces valeurs, et ayant égard aux équations de condition données dans l'article cité, entre les coefficients a, |3, 7, a', etc., on aura
d\x^x -f- d^Zy -h d^lz = d^x'lx'-i- ^V «/+ d^z'^z'.
Si Ton fait les mêmes substitutions dans l'expression des distances rectilignes entre les différents corps du système, représentées par p, q, etc. , il est Ëicile de voir que les quantités a, p, 7, a', etc., disparaîtront également, et que les transformées conserveront la même forme. En effet, on a
p = \/{x-xy-\-{y-yy-+-{z-zy,
^j y y z étant les coordonnées d'un corps m, et x, y, z celles d'un autre corps m rapportées aux mêmes axes. Par le changement des axes, les premières deviennent a:', j', z', et si Ton désigne par x', y', z'«ce que les dernières deviennent, on aura aussi
x = ax' H-/3y' 4-yz', y = «VH-/3y+yz', z = a V-t- P Y+ 7 V.
Substituant, et ayant égard aux mêmes équations de condition, on aura
et ainsi des quantités analogues q, r, etc.
iO. n s'ensuit de là que, si le système n'est animé que par des forces intérieures P, Q, etc. , proportionnelles à des fonctions quelconques des distances p, q, etc., entre les corps, et que les conditions du système ne dépendent que de la disposition mutuelle des corps, de manière que les équations de condition ne soient qu'entre les différentes lignes p, q, etc. , la formule générale de la Dynamique (art. 5) sera la même pour les coordonnées transformées x'j y\ z', que pour les coordonnées primitives x^ j, z. Donc, après avoir trouvé, par l'intégration des différentes équations, déduites de cette formule, les valeurs des coordonnées a?, y y z de chaque corps m, exprimées en temps, si l'on prend ces valeurs pour x\y' ^ z', on aura, pour les coordonnées a?, j, z, ces valeurs plus générales,
y = oLx' -h /sy -h y'z\
Z -=- OL X -j- p y -\' y z,
dans lesquelles les neuf coefficients a^ |3, 7, etc., renferment trois quantités indéterminées, puisqu'il n'y a entre elles que six équations de condition.
Si les valeurs de x\ y\ z renferment toutes les constantes arbitraires nécessaires pour compléter les différentes intégrales, les trois indéterminées dont il s'agit se fondront dans ces mêmes constantes arbitraires ; mais elles pourront suppléer celles qui manqueraient, et dont le défaut rendrait la solution incomplète. Ainsi, au moyen de ces trois nouvelles arbitraires qu'on peut introduire à la fin du calcul, on sera libre de supposer nulles ou égales à des quantité» déterminées, autant d'autres constantes arbitraires, ce qui servira souvent à faciliter et simplifier le calcul.
11. Quoiqu'on puisse toujours calculer les effets de l'impulsion et de la percussion comme ceux des forces accélératrices, cependant, lorsqu'on ne demande que la vitesse totale imprimée, on peut se dispenser de considérer ses accroissements successifs; et l'on peut, tout de suite, regarder les forces d'impulsion comme équivalentes aux mouvements imprimés.
Soient donc P, Q, R, etc., les forces d'impulsion appliquées à un corps quelconque m du système, suivant les lignes /?, ç, r, etc.; supposons que la vitesse imprimée à ce corps soit décomposée en trois vitesses représentées
par a:, y , z, suivant les directions des axes des coordonnées a:, /, 2, on aura, comme dans l'art. 5, en changeant les forces accélératrices -^> -^> -^
dans les vitesses a?, /, z, l'équation générale
S [xlx -+- yly -t- zlz) m -h S (PSjP H- Qlq + RSr H- . , .) = o.
Cette équation donnera autant d'équations particulières qu'il y restera de variations indépendantes après avoir réduit toutes les variations marquées par S au plus petit nombre possible, d'après les conditions du système.
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. '^Sg
