DE DYNAMIQUE

1. La formule à laquelle nous aYons réduit, dans la sect. II, toute la théorie de la Dynamique, n'a besoin que d'être développée pour donner toutes les équations nécessaires à la solution de quelque problème de cette science que ce soit ; mais ce développement, qui n'est qu'une affaire de pur calcul, peut encore être simplifié, à plusieurs égards, par les moyens que nous allons employer dans cette section.

Comme tout consiste à réduire les différentes variables qui entrent dans la formule dont il s'agit, au plus petit nombre possible, par le moyen des équations de condition données par la nature de chaque problème, une des principales opérations est de substituer, à la place de ces variables, des fonctions d'autres variables. Cet objet est toujours facile à remplir par les méthodes ordinaires; mais il y a une manière particulière d'y satisfaire relativement à la formule proposée, qui a l'avantage de conduire toujours directement à la transformée la plus simple.

2. Cette formule est composée de deux parties différentes qu'il faut considérer séparément.

I^a première contient les termes

^{'^i^^'^fy^ÇfsA^.

qui proviennent uniquement des forces résultantes de l'inertie des corps. La seconde est composée des termes

S(PJ> -h QcTy -h RcTr -h . . .)m,

dus aux forces accélératrices P, Q, R, etc., qu'on suppose agir effectivement sur chaque corps, suivant les lignes /?, 9, r, etc. , et qui tendent à dimi nuer ces lignes. La somme de ces deux quantités étant égalée à zéro, constitue fa formule générale de la Dynamique (sect. II, art. S).

5. Considérons d'abord la quantité d^x^x H- d^y^y -f- d^zSz\ il est clair que si Ton y ajoute celle-ci, dxd^x + dydSf -+- dzdizj la somme sera intégrable, et aura pour intégrale dx^x h- dySy H- dz^z. D'où il suit que Ton a

d^xSx H- d^ySy -h d^zSz = d. {dx^x -+- dyhy 4- dz^z) — drdSx — dydSy — dzd^z.

Or, le double signe c/cT étant équivalent à Sd^ par les principes connus, la quantité dxd^x -f- dydSy H- dzdSz peut se réduire à la forme

dx^dx 4- dyMy 4- dz&dz^ c'est«à-dire à \^. (dx^ H^ dy^ -^dz^).

Ainsi Ton aura cette réduction

d^x^x H- d^yiy -f- d^zSz = d. {dxSx -h dySy 4- cizcJ^^;)

par laquelle on voit que pour calculer la quantité proposée

d^xSx -+- d^ySy •+• d^z^z^

il suffit de calculer ces deux-ci, qui ne contiennent que des différences premières,

dxSx -h dySy H- dzSz^ dx^ -+- dy^ H- dz^ ,

et de différentier ensuite Tune par rapport à d^ et l'autre par rapport à i^.

4. Supposons donc qu'il s'agisse de substituer à la place des variables a*, y, 2, des fonctions données d'autres variables f, 4> ?> ^t^.; différentiant ces fonctions, on aura des expressions de la forme

dx=iAd^ -+- Brf4 -+-Cfl?^ dy = A'rfÇ H- B'rf4 -h C'rf(p

dz = A'^rfÇ-h B''rf4+ CV(p

dans lesquelles A, A', A'^ B, B', etc., seront des fonctions connues des

mêmes variables Ç, 4> ?> etc.; et les valeurs de 8a?, 8j, 8z seront exprimées

aussi de la même manière, en changeant seulement d en 8.

Faisant ces substitutions dans la quantité dxBx -h dy^y + dziz, elle

deviendra de cette forme,

où F, G, H, I, etc., seront des fonctions finies de ^^ -y^^j ^, etc^

Donc, changeant 8 en d^ on aura aussi la valeur de cte^-h djr^ -h dz^^ laquelle sera

Fd^'-h 2Gd^d4 ^ Rd^^ ^ 2ld^d<l>

Qu'on difFérentie par d la première de ces deux quantités, on aura la différentielle

d.{Fd^).8^-^Fd^d8^ -hd.{Gd^).^

d.{Gd4).8^^Gd^d84^Gd4d8^

d.{ïld4).^^Hd4d^

différentiant ensuite la seconde par S, on aura celle-ci :

5Frff -h 2 Fd^8d^ -h 2 BGd^d4 + nGd^U^

-t-2Grfg8rf4+8Hrf4^+ aHrf^Sé^^-i- ....

Si donc l'on retranche la moitié de cette dernière différentielle de la première, et qu'on observe que dB et ^d sont la même chose, on aura

d.{Fd^).8^ — \8Fd^'H-d.{Gd^).84 + d. {Gd4) . Sf — \8Gd^d4 + d. {Hd4) . ^ — \md4'

pour la valeur transformée de la quantité d^xlx H- d^y^y + d^zcz.

Or il est visible que cette valeur peut se déduire immédiatement de la dernière différentielle, en divisant tous les termes par 2, en changeant les signes de ceux qui ne contiennent point la double caractéristique 8dy et en effaçant dans les autres la d après la 8, pour l'appliquer aux quantités qui multiplient les doubles différences affectées de Bd. Ainsi le terme 8Fd^'^ donne —\8Fd^\ le terme 2Fd^8d^ donnera rf.(Frf^).8^, le terme 2 ^Gd^d'>l. donnerai — ^Gd^d^l^^Xe terme iGd-^l^^d^ donnera rf.(Grf4)-8^, et ainsi des autres.

S. D'où il s'ensuit que si Ton désigne par $ la fonction de ^, 4? Pi ^^^-i et de d^j,d'\^ d^, etc. , dans laquelle se transforme la quantité

l{dx'^dy'-hdz')

par la substitution des valeurs de x, j, z, en ^, 4> ?> etc. , on aura, en général, cette transformée

d^x^x -^d^ySy -h d^zSz

rf.^)^<p

en dénotant, suivant F usage, par jr- le coefficient de ^% dans la différence <J^$, par jj^ le coefficient de ^d^ dans la même différence; et ainsi des autres.

6. Ce qu'on vient de trouver d'une manière particulière, aurait pu l'être plus simplement et plus généralement par les principes de la méthode des variations.

Soit, en effet, une fonction quelconque de x^ j, z, etc., dx^ dy^ dz^ d^Xj d^fj d^Zj etc., laquelle devienne une fonction de 0, 4? ?> etc., rf^, fl?4î <^?5 etc., d^^^ ^*4» ^^^y etc., par la substitution des valeurs de ^, j, s, etc. , exprimées en ^, 4» ^> etc. ; en difïérentiant par rapport à tT, on aura cette équation identique,

^•^ = S '^^ ^ lè*^*^'^ ^- j^*^^'-^ -^ • • •

+ 3— (Tz -h 3-j- (TrfZ -H TTT- <î^« 2; 4- . . .

Qu'on y change les doubles signes id^ ^d^^ etc. , en leurs équivalents dS^ d^^j etc.; qu'ensuite on intègre par rapport à rf, et qu'on fasse disparaître, par des intégrations par parties, tous les doubles signes dS^, d^S, etc., sous le signe intégral / qui se rapporte au signe différentiel d; on aura une équation de cette forme :

dans laquelle

f{A^x ^ B(5y -hC^z -h . . .) H- Z

A = '*-rf.

dz

ddx àdy ddz

dd*x J4»

^'^ -âd*

rf.

dd^

drf»

\idr

rf.

àd^y ^■dd*z

Sx

Sz

od*x

dd^

rf.

rf.

rf.

Jd^

Donc, rediffërentiant et transposant, on aura l'équation k^x -h BiTr -h CeTz -h . . . — Mi% — W^ — C'cTip — . . . = rfZ'— rfZ,

laquelle doit être identique et avoir lieu quelles que soient les variations ou différences marquées par la lettre cT.

Ainsi, puisque le second membre de cette équation est une différentielle exacte par rapport à la caractéristique d, il faudra que le premier membre en soit une aussi par rapport à la même caractéristique, et indépendamment de la caractéristique S\ or c'est ce qui ne se peut, parce que les termes de ce premier membre contiennent simplement les variations Sx^ cTj, Sz^ etc., ^0, (T^, etc. , et nullement les différentielles de ces variations.

D'où il suit que pour que l'équation puisse subsister, il faudra nécessairement que les deux membres soient nuls chacun en particulier ; ce qui donnera ces deux équations identiques,

kSx + BJy -+- CeJ^z H- . . . = M^Z -h B'cT^ -h CStp -h . . . ,

dTL = rfZ ,

lesquelles peuvent être utiles dans différentes occasions. Soit, par exemple, $ = ^(d!r' + dy^ -h rfz*), on aura

et ainsi des autres quantités semblables ; donc

A = — d'x, li=z — dy, G = — d^z;

ensuite, comme 9 ne contient que des différences du premier ordre, on aura simplement

^ ^^ JZ — ^'TJZ^ " • •

0(f oa(f

Donc on aura l'équation identique

qui s'accorde avec celle de Tart. 5.