VI -h 5* -h k
/ x-^s'y -hii'z
d'où l'on tirera, en carrant et intégrant, après avoir multiplié par Dm,
On trouve dans la plupart des Traités de Mécanique la détermination des axes principaux dans différents corps ; dans ceux dont la forme est symétrique, l'axe de figure est toujours un des axes principaux : on peut trouver ensuite les deux autres par la formule de l'art. 27.
§ V. — Propriétés relatives aux forces DÎA^es.
33. En général, de quelque manière que les différents corps qui composent un système soient disposés ou liés entre eux, pourvu que cette disposition soit indépendante du temps, c'est-à-dire que les équations de condition entre les coordonnées des différents corps ne renferment point la variable ty il est clair qu'on pourra toujours, dans la formule générale de la Dynamique, supposer les variations Sxy <îy, Sz égales aux différentielles dxy dy^ dz^ qui représentent les espaces effectifs parcourus par les corps dans l'instant dt^ tandis que les variations dont nous parlons doivent représenter les espaces quelconques que les corps pourraient parcourir dans le même instant, eu égard à leur disposition mutuelle.
Cette supposition n*est que particulière , et ne peut fournir, par cpnsequent, qu'une seule équation ; mais étant indépendante de la forme du système, elle a l'avantage de donner une équation générale pour le mouvement de quelque système que ce soit.
Substituant donc dans la formule de l'art. 5 (section précédente), à la place des variations Sx^ Sy, Sz^ les différentielles dx^ dy, dzj et, par conséquent aussi, les différentielles dp, dq, dr, etc. , au lieu des variations J/?, ^q, Sr, etc. , qui dépendent de S^x, jy , ^z, on aura cette équation générale pour quelque système de corps que ce soit,
34. Dans le cas où la quantité Pdp -j-Qdq -^Rdr -{- . . . est intégrable, lequel a lieu lorsque les forces P, Q, R, etc., tendent à des centres fixes ou à des corps du même système, et sont fonctions des distances/;, q, r, etc., en faisant
Pdp -h Qdq -h Rdr -+-... = rfn, l'équation précédente devient
S( dxd^x -f- dvd^Y -+- dzd^z ,„\
I "^^ h an j m = o,
dont rintégrale est
c. ( dx^ -\- dy^ + dz^ \ „
dans laquelle H désigne une constante arbitraire, égale à la valeur du premier membre de l'équation dans un instant donné.
Cette dernière équation renferme le principe connu sous le nom de Consermtion des/or ces vives. En effet, dx^ 4- dy^ H- dz^ étant le carré de l'espace
1 1 dx ' [ //v * I dz '
que le corps parcourt dans l'instant dt, -j-^ sera le carré de sa
vitesse, et ^^ m sa force vive. Donc, S ( -^—ri ) ^ sera
la somme des forces vives de tous les corps, ou la force vive de tout le système ; et l'on voit, par l'équation dont il s'agit, que cette force vive est égale à la quantité a H — sSlIm, laquelle dépend simplement des forces accélé-
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. !if>y
ratrices qui agissent sur les corps, et nullement de leur liaison mutuelle, de sorte que la force vive du système est à chaque instant la même que les corps auraient acquise si, étant animés par les mêmes puissances, ils s'étaient mus librement chacun sur la ligne qu'il a décrite. C'est ce qui a fait donner le nom de Conservation des forces vives à cette propriété du mouvement.
35. Ce principe a lieu aussi lorsqu'on rapporte les mouvements des corps à leur centre de gravité ; car, en nommant comme ci-dessus (art. 3), x\y\ z^ les trois coordonnées du centre de gravité, et faisant or = a:' -f- g,j)^= r' -+- w, 3 = z' -H ^, les coordonnées 0, >i, ^auront leur origine dans le centre de gravité. On aura ainsi
^f dx^+dy^+dz^ \ d x'^^dy^^dz'^ ^ \ ^d? ) ^ 2 A*
dx'r.dl dv' r.dr) dz' r.dt di^*-h dvi^-h dr
Par la nature du centre de gravité, on a (article cité)
Sd^ c} dn £1 dt
-^ni = o, S-y-m = o, S-rm = o.
dt ^ dt ' dt
Donc l'équation précédente étant différentiée et retranchée de celle de l'art. 33, on aura
3? î^m-hb^^ -j^, jm
-h S(Prf/?-t-Qrf^-t-Rû^ + .,.)m = o.
Mettons à la place de Vdp +- Q^ -h Rrfr -h . . . , la quantité équivalente Xctr -H Yrfy -+- Zrfz, et substituons pour dx^ dy^ dz les valeurs éir'-+- rff, flÇr'-+- dr\^ dz' -+- d}^y la dernière équation se réduira, en vertu des équations différentielles de l'art. 3, à celle-ci :
s (^i^^i+^^^^^±^i^) m H- s (XrfÇ + Yrf» + ZrfO m = o,
qui est analogue à celle de l'art. 35, mais où la quantité Xrff -h Yrfw -+- Zdl^ ne sera intégrable qu'autant que les forces seront dirigées vers les corps mêmes du système, et proportionnelles, à des fonctions des distances. Dans
ce cas, on aura
équation qui renferme fa Conserçaiion des forces n)wes, par rapport an centre de gravité. t
56. Au reste, il n'en est pas du principe des forces Dwes comme de ceux du centre de gras^ité et des aires, qui ont lieu quelle que soit l'action que les corps du système puissent exercer les uns sur les autres, même en se choquant, parce que toutes les forces intérieures disparaissent des équations qui renferment ces deux principes.
L'équation de la conservation des forces vives contient tous les termes dus aux forces tant extérieures qu'intérieures, et n'est indépendante que de l'action des corps, provenant de leur liaison mutuelle. Aussi ce principe a-t-il lieu dans le mouvement des fluides non élastiques, tant qu'ils forment une masse continue, et qu'il n'y a point de choc entre leurs parties ; et si la quantité de forces vives est la même avant et après le choc des corps élastiques, c'est qu'on suppose que les corps se sont rétablis après le choc, dans le même état où ils étaient auparavant; de sorte que les termes JV dp de l'expression n, qui proviennent des forces P dues au ressort des corps, et dont la valeur est la plus grande lorsque la compression est à son terme , décroissent ensuite par degrés égaux pendant la restitution, et redeviennent nuls à la fin du choc. C'est uniquement dans cette hypothèse que la conservation des forces vives peut avoir lieu dans le choc des corps élastiques.
Dans tout autre cas, lorsqu'il y a des changements brusques dans les vitesses de quelques corps du système, la force vive totale se trouve diminuée de la quantité des forces vives dues aux forces accélératrices qui ont pu produire ces changements ; et cette quantité peut toujours s'estimer par k somme des masses multipliées par les carrés des vitesses que ces masses ont perdues, ou sont censées avoir perdues dans les changements brusques des vitesses réelles des corps. C'est le théorème que M. Carnot avait trouvé dans le choc des corps durs.
57. On peut aussi, dans l'équation de l'art. Il de la section précédente,
supposer les variations ^x^ ^j, Sz proportionnelles aux vitesses a?, j, z que
les corps reçoivent par l'impulsion. On aura ainsi l'équation
S[m(^^4- j^4- z') H- Xo: + Yj -h Zz] = o,
dans laquelle la partie Sm{j?' -H j* -h z^) représente la ^rce vwe de tout le système.
Cette équation étant combinée avec les trois équations de Fart. 14, donne lieu à une propriété de maxiwis et minimis relative à la ligne autour de laquelle le système tourne au premier instant, lorsqu'il a reçu une impulsion quelconque, ligne qu'on peut aussi nopimer axe de rotation spontané.
Si 1 on nomme a, |3, y les parties des vitesses x, j, z, qui dépendent du changement de position respective des corps du système (*), et qu'on les ajoute à celles qui résultent des rotations (art. 17), on aura les valeurs
complètes de a?, y^ z, exprimées ainsi :
x=z(iù — J'^-l-a, jr=ix(p — z4 -+- ^, z=Xy — otû) -h 7. Supposons maintenant qu'on difTérentie ces valeurs, eo ne regardant que
4, û), (p comme variables, et qu'on dénote ces différentielles par la caracté^ ristique S (**) , on aura
ixz:=zzS^eo — J^?, Sy=^xS^ — Z^4î <î'z=j^4 — ^S^a,
Or, les trois équations de l'art. 14 étant multipliées respectivement par S(p^
^cù^ ^"4, et ajoutées ensemble, en faisant passer sous le signe S les différen-
tielles ô^^ ôof, (f^, qui sont les mêmes pour tous les corps, donnent, par la
{*) Ces quantités a, p, 7 ne sont pas suffisamment définies. Quel que soit, en effet, le déplacement d*nn système variable de forme, on pent le regarder camme résultant d'un mouvement arbitraire imprimé au systèoie solidifié, puis d*un second mouvement produisant le changement de position respective des points considérés. L'indétermination des quantités a , ^ , 7 rend cet art. 57 extrêmement obscur. Je dois avouer qu'il m'a été impossible de comprendre le raisonnement de Lagrange , et d'attacher même aucun sens précis au théorème qui termine le paragraphe. Les notes qui suivent se rapportent donc an seul cas d'un système solide. (/. Bertrand. )
(**) Ces variations, représentées par la caractéristique ^, se rapportent aux changements qu'éprouvent les vitesses par suite de l'introduction de liaisons nouvelles, les forces motrices restant les mêmes. Ainsi, par exemple, dans le cas d'un corps solide, les variations d peuvent résulter de l'introduction d'un axe fixe dans le système. (/. Bertrand. )
suhâtitution des valeurs précédentes,
S[m{x^x^ySx -h z^z) -f- XSx -f- Y«Jy H- 7Jz] = o.
Mais l'équation de la force vive trouvée ci-dessus étant différentiée relativement à ^(*), donne
S[2m{xlx -h X^X -f- z^z) -h X^x H- YSr -h 7j^z] = o. Donc on a, par la comparaison de ces deux équations,
Sm(.rJ'a; -f- J^j 4- zSz) = o, et, par conséquent,
^.Sm{x'-i-x''\-z') = o,
ce qui feit voir que la force vive que le système acquiert par l'impulsion est toujours un maximum ou un minimum Ç^) , par rapport aux rotations relatives aux trois axes ; et comme ces trois rotations se composent en une rotation unique autour de Taxe spontané, il s'ensuit que la position de cet axe est toujours telle, que la force vive de tout le système est la plus petite ou la plus grande, par rapport à ce même axe.
Euler avait démontré cette propriété de l'axe spontané de rotation pour les corps solides d'une figure quelconque ; on voit, par l'analyse précédente, qu'elle est générale pour un système de corps unis entre eux d'une manière invariable ou non, lorsque ces corps reçoivent des impulsions quelconques.
58. Lorsque le système est un corps solide qui peut tourner librement
C^) Si Ton suppose que les variations désignées par S soient finies, on aura, en difTérentiant réquatioo des forces vives,
/[2ni(i5x+j^J4-z^ij]4-[ni(^x)*H-{^jr)»4-(^3)»-hX^ar-h Y^jî-H-Z^zl^o;
et si l'on continue le raisonnement en ayant égard aux nouveaux termes introduits par cette hypothèse , on trouvera
ce qui montre que l'accroissement des forces vives est négatif et égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par les différents points. (/. Bertrand,)
(**) Il résulte de la note précédente qu'elle est toujours un maximum. Cette remarque a été faite pour la première fois par M. Delaunay qui la justifie d'une manière très-différente. (Journal de M- Liouville^ tome V, page 255.) (/. Bertrand,)
autour d'un point, et qui n'est animé par aucune force accélératrice, on peut tirer de la combinaison de l'équation des/orces vives avec celle des aires une relation digne d'être remarquée par sa simplicité, et qui ne l'avait pas
encore été, que je sache, entre les vitesses de rotation 4> «? ?? P^ir rapport aux trois axes fixes des coordonnées x^ j, z. Dans ce cas, on a simplement (art. 17)
dx=^X(k =^{zeo — y^)dt^
dy =^ydt == [x(p — z^)dt^
dz = zdt = (/4 — Xûù)dt.
Donc, si Ton ajoute ensemble les trois dernières équations de l'art. 9, après
les avoir multipliées par ^, o^, 4» qu'on fasse passer ces quantités sous le signe S, et qu'on substitue -^ > ^» ^ ^ ^^ place de leurs valeurs, on aura
mais l'équation de l'art. 54 donne, lorsque n = o,
\ Tdë )m = H.
Donc on aura
A4 -f- Bûi -+- C(p = 2 H,
A, B, C étant les moments des forces primitives d'impulsion, et H étant une constante arbitraire qui doit être nécessairement positive.
Si dans cette équation on substitue pour A, B, C les expressions de l'art, il, yC', 7'G', ^0'^ ou G'cos/, C'cosm, G'cosw, et pour 4? «/^^ celles de l'art. 17, dcosA, Ôcosyu, âcosv, on aura
fl (cos / cos A + cos m cos /jl H- cos n cos r) = -^•
Dans cette formule, l, m^ n sont les angles que l'axe perpendiculaire Bxxplan iwariable fait avec les axes fixes des j;,j, z, etA, yt6,v sont les angles que l'axe instantané de la rotation composée, dont fl est la vitesse, fait avec les mêmes axes; donc, si l'on nomme a l'angle que l'axe instantané de rotation
Méc. anal, I. 35
^y^ Hl^CANIQUE ANALYTIQUE.
feît avec Taxe perpendiculaire au plan invariable, on aura, par une formule connue,
cos tr = cos / COB A -h cos m cos/w -h cos n cos r;
et, par conséquent, 9 cos ^ = -^ » où la quantité -^r est une constante qui
dépend de l'état initial ; ce qui donne un rapport indépendant de la figure du corps, entre la vitesse réelle de rotation à chaque instant, et la position de l'axe de rotation relativement au plan invariable.
Au reste, si Ton prend le plan des a:, y de manière qu'il passe par le centre du corps et par la droite suivant laquelle se fait l'impulsion, les constantes A et B deviendront nulles (art. 16), et l'équation générale trouvée
ci-dessus se réduira à C(p = 2 H, laquelle fait voir que la vitesse de rotation, par rapport à l'axe des z, c'est-à-dire parallèlement au plan de l'impulsion, demeure toujours la même.
§ VI. — Propriétés relatives à la moindre action.
59. Nous allons maintenant considérer le quatrième principe, celui de la moindre action.
En nommant u la vitesse de chaque corps m du système, on a •
et réquation des forces vives (art. 54) devient
laquelle, étant différentiée par rapport à la caractéristique «î", donne
%(u^u -h (ril)m = o.
Or, n étant une fonction de /?, ^, r, etc. , on a
Donc
S(P<î/?-+-Q^gr -+- R(Jr -h ..•)m=*^ — SmweTa.
Et cette équation aura toujours lieu, pourvu que Vdp + Ç^dq + R rfr
SfiCOKDE PARTIB* — LA DYNAMIQUE. 1^0
soit une quantité intégrable, et que la liaison des corps soit indépendante du temps; elle cesserait d'être vraie si Tune de ces conditions n'avait pas lieu.
Qu'on substitue maintenant l'expression précédente dans la formule générale de la Dynamique (art. 5, sect. II), elle deviendra
S(^^8a:-^g8r + ^Sz-e^8r.)m = o.
Or,
= d.{dxSx-^ ^Sj-H dz^z) — dxdlx — dfd8y — dzdBz.
Mais, parce que les caractéristiques d et 8 représentent des différences ou variations tout à fait indépendantes les unes des autres, les quantités d^x^ rfSr, d8z doivent être la même chose que Séir, 8c(y, Bdz. D'ailleurs il est visible que dxldx -t- dytdy + dzZdz = |S. (ûtr* -h dy^ -+- dz^). Donc on aura
d^xlx -h dyiy + d'^zlz
= d.{dxlx -H dyly + dz^z) — {^.{dx^ + dy^ -H dz"). Soit s l'espace ou l'arc décrit par le corps m dans le temps t ; on aura
ds = ^d:jo^ -hdy^ -^dz^j et cfe = — • Donc
d^x^x -h d^yly -^d^zlz = d.{dxlx -h dy^y -f- dz^z) — ds^ds; et, de là,
d^x ^ d^y ^ d^z ^ d.ldxâx-k-dyây-i^dzâz) u*dds
Ainsi la formule générale dont il s'agit deviendra
o ( dAdxdx+driY'^dzdz) u^âds «. \
ou, en multipliant tous les termes par l'élément constant dt = — i et remar-
^7^ MECANiQtJE ANALYTIQUE.
quant que u^ds H- dsiu = S.{uds)^
Couime le signe intégral S n*a aucun rapport aux signes différentiels £^ et c, on peut faire sortir ceux-ci hors de celui-là; et l'équation précédente prendra cette forme,
dt
Intégrons par rapport au signe différentiel rf, et dénotons cette intégration par le signe intégral ordinaire /, nous aurons
Or le signe J, dans l'expression f^.SmudSj île pouvant regarder que les variables u et «y, et n'ayant aucune relation avec les signes S et S, il est clair que cette expression est la même chose que celle-ci, B.Smfuds; et, si Von suppose que, dans les points où commencent les intégrales fuds^ on ait OcT = o, 8j' = o. Sz = o, il faudra que la constante arbitraire soit nulle, parce que le premier membre de l'équation devient nul dans ces points. Ainsi on aura, dans ce cas,
^ o r j Sld^dx -h dydY-hdziz)ïn
ô.Sm uds = — ^ "^ ^— •
•' dt
Donc, si l'on suppose de plus que les variations ix^ ^j, 8z soient aussi nulles pour les points où les intégrales fuds finissent, on aura simplement ù.Sxnfuds = o, c'est-à-dire que la variation de la quantité Sm fuds sera nulle; par conséquent, cette quantité sera un maximum ou un minimum.
De là résulte donc ce théorème général, que, dans le mouvement d'un système quelconque de corps animés par des forces mutuelles d'attraction, ou tendantes à des centres fixes y et proportionnelles h des fonctions quelconques des distances, les courbes décrites par les différents corps, et leurs vitesses, sont nécessairement telles, que la somme des produits de chaque masse par l'intégrale de la vitesse multipliée par l'élément de la courbe est un maximum ou un minimum, pourvu que Von regarde les premiers et les
derniers points de chaque courbe comme donnés, en sorte que les variations des coordonnées répondantes à ces points soient nulles. C'est le théorème dont nous avons parle à lîi fin de la première section, sous le nom de Principe de la moindre action (*).
40. Mais ce théorème ne contient pas seulement une propriété très-remarquable du mouvement des corps, il peut encore servir à déterminer ce mouvement. En effet, puisque la formule Sm fuds doit être un maximum ou un minimum, il n'y a qu'à chercher, par la méthode des variations, les conditions qui peuvent la rendre telle; et, en employant l'équation générale de la conservation des forces vives, on trouvera toujours toutes les équations nécessaires pour déterminer le mouvement de chaque corps. Car, pour le maximum ou minimum, il faut que la variation soit nulle, et que, par conséquent, on ait 8 . Sm fuds = o ; et de là, en pratiquant dans un ordre rétrograde les opérations exposées ci-dessus, on retrouvera la même formule générale d'où l'on était parti.
Pour rendre cette méthode plus sensible, nous allons l'exposer ici en peu de mots. La condition du maximum ou minimum donne, en général, ^.Sm fuds = o, et faisant passer le signe différentiel S sous les signes S et f (ce qui est évidemment permis par la nature de ces différents signes), on aura l'équation Sm f8{uds) = o; ou bien, en exécutant la différentiation par o,
Smf{ds8u -h uBds) = o.
Je considère d'abord la partie Smfds8u; en mettant pour ds sa valeur ridt^ elle devient Smfuludt, ou, changeant l'ordre des signes S et /, qui sont absolument indépendants l'un de l'autre, fdtSmu^u. Or l'équation générale du principe des forces vives donne (art. 34)
Sw^m = 2H — aS.IIm,
dîl étant égal à Pdp -h Qdq -+- Kdr -+-...; donc, différentiaiit suivant 0,
{*) L*intégra1e Smfnds est un maximum ou un minimum, si on la compare aux intégrales analogues relatives à tout autre mouvement du système qui serait produit par les mêmes forces, et dans lequel, malgré l'introduction de liaisons nouvelles laissant subsister le principe des forces vives, les positions initiales et finales resteraient les mêmes. Peut-être cet énoncé, qui résulte évidemment de ta démonstration , n^est-il pas rendo assez explicite dans le texte. (/. Bertrand. ]
270 MECANIQUE ANALYTIQtJfi.
on aura
SacTwm = — S^Tnm = — S(PJ> + Q(r5f-hR(rr+ . . .)m,
parce que n étant supposée une fonction algébrique dep^q^rj etc. , la dififérentielle Sll est la même que la dllj en changeant seulement «^ en S, Ainsi la quantité Smfds^u se réduira à cette forme,
—fdtS{Vip + Qiq -h RcTr + . . . ) m.
Je considère ensuite l'autre partie Smfu^dsy et j'y substitue, à la place de ds^ sa valeur exprimée par des coordonnées rectangles, ou par d'autres variables quelconques. En employant les coordonnées rectangles a:, j, z,
on a
ds = ^dx* H- dy^ -h dz^ :
donc, différéntiant suivant S^
j, dxàdx-^dyddy-irdzddz
OU bien, en transposant les signes d, J", et écrivant di au lieu de Sd^ ce qui est toujours permis à cause de Tindépendance de ces signes,
r, , dxdàx -h dyddy -h dtdiz
à^ — as ;
on aura ainsi, en substituant cette valeur, et mettant cif à la place de — 9
/• jr.» rdxdâx-h dyddy -^dzddz
Comme il se trouve ici, sous le signe intégral J, des différentielles des variations (Tx, jy, Sz, il faut les faire disparaître par l'opération connue des intégrations par parties, suivant les principes de la méthode des variations. On
transformera donc la quantité i — ^ — ^i celle-ci, qui lui est équivalente,
et, supposant que les deux termes de la courbe soient donnés, en sorte que les coordonnées qui répondent au commencement et à la fin de l'intégrale
SECONDE PARTIE. — Là DYNAMIQUE. 279
ne varient point, on aura simplement
dx
dt
/dxdox /»^ 1 dx
—dr- = -P'"^Tt
On trouvera de même et, pareillement,
de sorte qu'on aura cette transformée
Donc la quantité SmfuSds deviendra, en transposant les signes S et /, et supposant dt constant,
-JdtsUxd.^-hSyd.^,-h^zd.^,^ni.
L'équation du maximum ou minimum sera donc
laquelle devant avoir lieu, en général, pour toutes les variations possibles (*), il faudra que la quantité sous le signe / soit nulle à chaque instant ; on aura ainsi Téquation indéfinie
équation qui est la même chose que la formule générale de la Dynamique (art. S, sect. II), et qui donnera par conséquent, comme celle-ci, toutes les équations nécessaires pour la solution du problème.
( * ) Il n'est pas absolument exact de dire que cette équation a lieu pour toutes les variations possibles , car les équations de liaison doivent toujours être satisfaites. La suppression de Tintégration par rapport au temps semblerait devoir être justifiée d'une autre manière, en remarquant , par exemple^ que les valeurs de t entre lesquelles elle est prise sont arbitraires. (/. Bertrand. )
u8o MECANIQUE ANALYTIQUE.
41. Au lieu des coordonnées a?, j, z, on peut employer d'autres indéterminées quelconques, et tout se réduit à exprimer l'élément de Tare ds en fonction de ces indéterminées. Qu'on prenne, par exemple, le rayon ou la distance rectiligne à l'origine des coordonnées, qu'on nommera p, avec deux angles, dont F un -\> soit l'inclinaison de ce rayon sur le plan des x et y, et l'autre (p soit l'angle de la projection du même rayon sur ce plan avec l'axe des a*, on aura
5;:=psin4î .;K = p<îos4 sin^, a; = pcos^cos^,
et, de là, on trouvera
ds^ = dœ^ -f- dy^ H- dz^ = rfp^ H- p^ (dl4^ + cos 4' d(p^ ) ,
expression qu'on pourrait aussi trouver directement par la Géométrie. Différentiant donc par J", et changeant ^d en d^^ on aura
dsStds = dpdSp d'où, en divisant par dt =z —<, et en intégrant, on aura
fuSds = /-
di
'p'^[d^dd^ — s\ii^coh^d(f^d^ -f- cos^*d(fdd^)
On fera disparaître de dessous le signe / les doubles signes dS^ par des intégrations par parties, et l'on rejettera d'abord les termes qui contiendraient des variations hors du signe /, parce que ces variations devant alors se rapporter aux extrémités de l'intégrale, deviennent nulles par la supposition que les premiers et derniers points des courbes décrites par les corps soient donnés et invariables. On aura ainsi cette transformée,
Ju^ds = — JduSs
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. !î8 1
par conséquent, l'équation du maximum ou minimum sera
dt^ ' ^' dt^ r^ ' d^
Égalant à zéro la quantité qui est sous le signe /, on aura une équation indéfinie, analogue à celle de Tarticle précédent, mais qui, au lieu des variations ix^ ^j, (Tz, contiendra les J'p, tT^, 8'\\ et Ton en tirera les équations nécessaires pour la solution du problème, en réduisant d'abord toutes les variations au plus petit nombre possible, faisant ensuite des équations séparées des termes affectés de chacune des variations restantes.
En employant d'autres indéterminées, on aura des formules différentes, et Ton sera assuré d'avoir toujours, dans chaque cas, les formules les plus simples que la nature des indéterminées puisse comporter. Voyez le second volume des Mémoires de ï Académie de Turin ^ où l'on a employé cette méthode pour résoudre différents problèmes de Mécanique (*) .
42. Au reste, puisque ds =^ udt^ la formule Sm Juds, qui est un maxirmum ou un minimum^ peut aussi se mettre sous la forme Sm fu^dt^ ou fdtSmu^j dans laquelle Smu^ exprime la force vive de tout le système dans un instant quelconque. Ainsi le principe dont il s'agit se réduit proprement à ce que la somme des forces vives instantanées de tous les corps, depuis le moment où ils partent des points donnés, jusqu'à celui où ils arrivent à d'autres points donnés, soit un maximum ou un minimum. On pourrait donc l'appeler, avec plus de fondement, le principe de la plus grande ou plus petite force "vive; et cette manière de l'envisager aurait l'avantage d'être générale, tant pour le mouvement que pour l'équilibre, puisque nous avons vu dans la sect. III de la I" partie (art. 22), que la force vive d'un système est toujours la plus grande ou la plus petite dans la situation d'équilibre.
(*) Voyez aussi une Note remarquable d*01inde Rodrigues, Correspondance sur l'École Folytech nique, tome m, page 169. (/. Bertrand,)
Mec, anal, I. 36
282 nicAjnqvE analytique.
