V. dr'^ -+- dz^ = c/p" -h p*rf

de sorte que la quantité dx^-h dy^ -+- dz^ serait transformée en celle-ci.:

p^ (cos* 4^?'* •+* ^4*) -f- ^p^-

agii MECANIQUE ANALYTIQUE.

Ici il est clair que p sera le rayon mené du centre des coordonnées au point de l'espace où est le corps m, 4 ^^^ l'inclinaison de ce rayon sur le plan des X et j, et ^ l'angle de la projection de ce rayon sur le même plan avec Taxe des x\ et l'on aura, comme dans l'art. 4 de la sect. II, I** partie,

j; =z p cos 4 cos cp, X = p cos 4 sin ç, z = psin 4-

Enfin, on pourra employer à volonté d'autres substitutions, et, lorsque le système est composé de plusieurs corps, on pourra les rapporter immédiatement les uns aux autres par des coordonnées relatives ; les circonstances de chaque problème indiqueront toujours celles qui seront le plus propres. On pourra même, après avoir trouvé, d'après une substitution, une ou quelques-unes des équations du problème, déduire les autres d'autres substitutions : ce qui fournira de nouveaux moyens de diversifier ces équations , et de trouver les plus simples et les plus faciles à intégrer.

13. Les autres termes des équations dont il s'agit dépendent des forces accélératrices qu'on suppose agir sur les corps, et des équations de condition qui doivent subsister entre les variables relatives à la position des corps dans l'espace.

Lorsque les forces P, Q, R, etc. , tendent à des centres fixes ou à des corps du même système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, comme cela a lieu dans la nature, la quantité Y qui exprime la somme des quantités mf{Pdp -+- Qrf/jr -h Rdr H- . . . ) pour tous les corps m du système, sera une fonction algébrique des distances , et fournira pour chaque

variable ^ dont elle se trouvera composée, un terme fini de la forme -gy

De même les équations de condition L = o, M = o, etc. , fourniront pour

la même variable ? les termes A -yrr^ u-vr' «te- -, et ainsi des autres. De sorte

qu'il n'y aura qu'à ajouter à la valeur de V les quantités aL, ^uM, etc., en regardant ensuite A, /w, etc. , comme constantes dans les différentiations en S. Si donc quelques-unes des variables qui entrent dans la fonction T, n'entrent point dans V, ni dans L, M, etc. , les équations relatives à ces variables ne contiendront que des termes différentiels, et l'intégration n'en sera que plus fadle, surtout si ces variables ne se trouvent dans T que sous la forme différentielle. C'est ce qui aura lieu lorsque, les corps étant attirés vers

des centres, on prendra les distances à ces centres, et les angles décrits autour d'eux pour coordonnées.

14. Une intégration qui a toujours lieu lorsque les forces sont des fonctions de distances, et que les fonctions T, V, L, M, etc«, ne contiennent point la variable finie t^ est celle qui donne le principe de la conservation des forces vives. Quoique nous ayons déjà montré comment ce principe résulte de notre formule générale de la Dynamique (sect. III, art. 54), il ne sera pas inutile de faire voir que les équations particulières déduites de cette formule, fournissent toujours une équation intégrable, qui est celle de la conservation des forces vives.

Ces équations, considérées dans toute leur généralité, étant chacune de la forme (art. 11)

, (ÎT dT cîV ^cîL , (JM^

si on les ajoute ensemble après les avoir multipliées par les différentielles respectives rf^, d'^^ etc., et qu'on fasse attention que les quantités V, L, M, etc., sont paf l'hypothèse des fonctions algébriques des variables Ç, 4, etc., sans t^ il est clair qu'on aura l'équation