dY H- Xdh -+- /wrfM -h . . . = o

mais L = o, M = o, etc., étant les équations de condition, on aura généralement dL = o, rfM = o, etc. ; par conséquent, l'équation précédente se réduira à

Or on a

et comme T est une fonction algébrique des variables ^, 4? ^^- 9 ^^ ^^ ^^^^^ différentielles rf^, ^4? ^*^-î ^^^^ ^y on aura

2q6 mécanique analytique.

donc r équation deviendra

laquelle est évidemment intégrable, et dont l'intégrale est

^''? + ^^''4-)-----T + V=const.

Maintenant, puisque T = S ^^''^^y [+^ ^^ y ^st évident que, quelques

variables qu'on substitue pour a?, j, z, la fonction résultante sera nécessairement homogène et de deux dimensions, relativement aux différences de ces variables; donc, par le théorème connu, on aura

Donc rihtégrale trouvée sera simplement T -f- V = const., laquelle contient le principe de la conservation des forces vives (sect. III, art. 34). Si la quantité V n'était pas une fonction algébrique (*), on n'aurait pas

dV = -Tz- d^ -h ' ' ' j et siles quantités T, L, M, etc., contenaient aussi la variable^, alors leurs différentielles rfT, rfL, dM, etc., contiendraient aussi les termes -^-dt^ -r-dt^ -j- dt^ etc. ; donc les réductions qui ont rendu l'équation intégrable n'auraient plus lieu, ni par conséquent le principe de la conservation des forces vives.

15. Quoique le théorème sur les fonctions homogènes dont nous venons de parler, soit démontré dans différents ouvrages, et qu'on puisse, par conséquent, le supposer comme connu, la démonstration que voici est si simple, que je ne crois pas devoir la supprimer. Si F est une fonction homogène de

{*) U faut, pour comprendre ce passage, se rappeler la définition de la fonction V. On a posé (art. 9) rfn = Prf/? -f- Q«^y -h R</r -f- . . . , puis ensuite V = Snm. Pour que V soit, suivant l'expression deLagrange, une fonction algébrique, il faut et il suffit que II en soit une, c'est-à-dire que V dp -^ (^dq -\- fidr -^ ... soit une différentielle exacte; si cela n'a pas lieu, la fonction n n'existe plus , et il en est de même de V : fonction algébrique signifie simplement ici fonction , et cette expression Jie doit, en aucune façon , être regardée comme opposée à celle de fonction non algébrique.

différentes variables x, y y etc., et qu'elle soit de la dimension n^ il est clair qu'en y mettant oo?, ajr^ etc. , à la place de Xj y, etc. , elle deviendra nécessairement a"F, quelle que soit la quantité a. Donc, faisant a = i -h a, et regardant oc comme une quantité infiniment petite, l'accroissement infiniment petit de F, dû aux accroissements infiniment petits ax^ aj, etc. , de x^y, etc. , sera nocF. Mais en faisant varier a?, y, etc. , de a^, aj, on a, en général, pour la

variation de F,

dF dF

dx dy

Donc, égalant ces deux expressions de l'accroissement de F, et divisant par a,

on aura

T. cîF dF

16. L'intégrale relative à la conservation des forces vwes est d'une grande utilité dans la solution des problèmes de Mécanique, surtout lorsque la fonction T ne contient que la différentielle d'une variable qui ne se trouve point dans la fonction V ; car cette intégrale servira alors à déterminer cette même variable, et à l'éliminer des équations différentielles.

A l'égard des intégrales qui se rapportent à la conservation du mouvement du centre de gravité, et au principe des aires, et que nous avons déjà trouvées d'une manière générale dans la sect. HI, elles se présenteront d'ellesmêmes dans la solution de chaque problème, pourvu qu'on ait soin, dans le choix des variables, de séparer le mouvement absolu du système, des mouvements relatifs des corps entre eux, ainsi que nous Tavons fait dans la section citée.

Les autres intégrales dépendront de la nature des équations différentielles de chaque problème ; et l'on ne saurait donner de règle générale pour les trouver. Il y a cependant un cas très-étendu, qui est toujours susceptible d'une solution complète en termes finis ; c'est celui où le système ne fait que de très-petites oscillations autour de sa situation d'équilibre. Nous destinons une section particulière à ce problème, à cause de son importance.

17. Lorsque le système dont on cherche le mouvement est composé d'une infinité de particules ou éléments dont l'assemblage forme une masse finie de

Jliéc, anal» I. 38

figure variable, il faut employer une analyse semblable à celle que nous avons exposée dans le § II de la sect. IV de la I"* partie ; mais à la place de la caractéristique dj que nous y avons employée (art. 1 1 et suiv. ) pour désigner les différences des variables relatives aux différents éléments du système, il faudra substituer la caractéristique D, qui répond à la caractéristique intégrale S, relative à tout le système, afin de pouvoir conserver l'autre caractéristique d pour les différences relatives au temps, auxquelles nous Tavons destinée dans la sect. II de la seconde partie, art. 7.

Ainsi en nommant m la masse entière, et Dm un de ses éléments, il faudra mettre Dm au lieu de m dans les expressions de T et de V de Tart. 10.

S'il y a pour chaque élément du corps des forces F, G, etc., qui tendent à diminuer les quantités y, g", etc., dont ces forces sont fonctions, il faudra ajouter à la valeur de V les expressions SJFd/^ SJGdgj etc.

Et s'il y a des équations de condition L = o, M = o, etc., qui doivent avoir lieu à chaque point de la masse m, il faudra mettre SaSL, S /u S M, etc. , à la place de aSL, yttSM, etc., dans les formules de l'art. II.

Les quantités y, g", etc., ainsi que L, M, etc., pouvant renfermer des différences des variables relatives à la caractéristique D, il faudra alors faire disparaître les doubles signes SD, SD*, etc. , par l'opération connue des intégrations par parties, de manière qu'il ne reste sous le signe S que les variations simples marquées par 8 ; et les termes hors du signe S se rapporteront uniquement aux extrémités des intégrales-

Il faudra enfin avoir égard aussi aux forces et aux équations de condition relatives à des points déterminés de la masse m, et en tenir compte dans la formule générale ; mais elles ne donneront que des termes indépendants du signe S.

Les variations qui resteront sous le signe S donneront, en égalant leurs coefficients à zéro, autant d'équations indéfinies pour le mouvement de chaque élément du système ; et les variations hors du signe donneront des équations déterminées pour certains points du système.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 'igg