I -f- [?'((7) -h fx9'($) -h v(p'(7r)]d(T = o

D'un autre côté, le point mobile restant toujours sur la surface, il faudrait qu'on eût en même temps l'équation

Or il est clair que ces équations (i) et (a) ne peuvent subsister ensemble à moins que les

coefficients de rf|, rf^r, da dans l'une d'elles ne soient proportionnels aux coefficients des mêmes ind^erminëes dans l'autre, et, par conséquent, à moins qu^oh n'ait les deux équations

?'(Ç)[vî'(a) -t- Y(?)] -?'(«)[¥(«) + f*?'(»)] = o> f(Ç)[v9'{ff)-|-p?'(0]-?'(a)[X/(ir)-Hf*f(a)] = o,

équations qui ne peuvent avoir lieu en général, c'est-à-dire indépendamment des variables I, TT, (7, et, par conséquent, de la position du point sur la surface que Ton considère.

Ainsi le point mobile , aux coordonnées quelconques ^, ??, <7, ne peut être tenu en équilibre sur la surface par les trois forces qp' ( $), 9' (tt), ^' (a) : la résultante de ces forces n'est donc pas normale à cette surface , et , par conséquent , elle n'est pas la même que celle des forces proposées/'(p),/'(<7),y*'(r), etc. : ce qu il fallait démontrer,

4. Les formules de Lagrange pour la réduction des forces sont donc en défaut dans cette hypothèse de coordonnées obliques J , tt, ci-, il n'y a qu'un cas singulier où l'erreur pourrait s'évanouir : c'est le cas où les coordonnées f , tt, or satisferaient aux deux équations précédentes, en même temps qu'à l'équation de la surface

7(^9 ir, or) = constante,

ce qui ne répond, comme on voit, qu'à un certain point de cette surface, ou à une certaine proportion déterminée entre les trois forces 9'($)» 9'(^)» ?'(^)* Mais, dans ce cas singulier même, si la résultante des trois forces H, II, 2 a la même direction que la résultante des forces proposéesy'(/?), /'(^), etc., on trouverait qu'elle n'a pas la même grandeur : de sorte qu'il y aurait encore erreur de ce côté.

Lorsque les cosinus X, |tx, v sont tous trois nuls y les deux conditions précédentes ont toujours lieu d'elles-mêmes , et les formules de Lagrange sont toujours exactes. C'est le cas des coordonnées Ç, tt, a^ relatives à trois axes rectangulaires entre eux. Et, en effet, pour de telles coordonnées, les différentielles dt^ dr,^ da sont les expressions mêmes des vitesses virtuelles du point décrivant estimées suivant ces lignes , et l'équation différentielle

y'(Ç)rf$ -h9'(Tr)rf7r-t-y'((7)rf<7 = o,

tirée de l'équation de la surface, exprime l'égalité à zéro de la somme des moments virtuels des trois forces 9>'(Ç), 9' (ît), ^'(^)t et , par conséquent , l'équilibre de ces forces sur le point qu'on suppose assujetti à décrire cette surface.

Mais, dans toute autre hypothèse'que celle de X, /ui, v, tous les trois nuls, les deux conditions ne peuvent être remplies indépendamment de ^, tt, 9^ et les formules sont toujours fautives.

5. Soit, par exemple, le cas très-simple d'un point posé sur la circonférence d*un cercle fixe. Si l'on prend l'équation de ce cercle en coordonnées rectangles x et y^ on aura

f(or^ j,) = x*-f- /'= constante,-

d*où

f'{x)dx-{' J^(y)dyz=z ax.rfr -^ 'xy.dyz=, o,

et Ton pourra très-bien dire ici que deux forces X et Y étant prises le long des coordonnées, dans le rapport des fonctions prunes f'[x)^f '(y) ^ donnent leur résultante perpendiculaire à la circonférence du cercle , et tiennent ainsi le point d'application en équilibre sur cette circonférence.

Mais si , au lieu de ces coordonnées rectangles x et y^ on en prend deux autres | et tt de même origine, et par exemple l'une, Ç • suivant les x, l'autre ît, inclinée d'un angle a sur la première , ce qui donnera

X = I 4- TT cos a , y = 'K sin a , on aura, en substituant,

J{x^y) = ^(Ç, n) =7r*-f- 1*-|- arr^ cosa = constante^

d'où

(f* [l) dl -\- <f* {'K)di: =z a(f-f- 7rco8a)rf| -h a(7r -+-|cos«)</7r = 0.

Or il est évident que deux forces proportionnelles à y'($) et y'(îr), c'est-à-dire, ici, à (5 -h TT cosa) et (tt -+■ Çcosa), ne donnent point leur résultante perpendiculaire à la circonférence du cercle dont il s'agit; car il faudrait pour cela que cette résultante allât passer par le centre, et que, par conséquent, ses deux composantes, le long de ^ et tt, fussent simplement proportionnelles à $ et tt, et non pas à (J -h îtcosa) et (.tt -h Ç cosa). Donc, quoiqu'on ait ici [en faisant ç'(^) = S, y'(î^) = H] les équations

d% d^ dit an

on ne peut pas dire que les deux forces X et Y, dirigées suivant les axes rectangles x et y^

soient réductibles aux deux forces S et 17, dirigées suivant les axes obliques ^ et tt.

Pour que Ton eût

5 4- ?r cosa : t: -H $ cos a :: | : tt,

il faudrait que l'on eut

cos a == o )

ce qui est le cas des coordonnées ^ en: rectangidaires entre elles.

Ou bien, il faudrait | = ir; ce qui ne serait qu'un cas particulier de la position du point proposé M sur la circonférence du cercle dont l'équation est

y (Ç , ir) = constante.

Mais, dans ce cas singulier même, où la résultante des deux forces E et II aurait la mime direction que celle des deux forces X et Y, on trouverait que ces deux résultantes,

VH«-h2Sncosa4-n% et VX*-t-Y% n'ont pas la même valeur, et que la première est à la seconde comme i -H cos a est à l'unité.

Ainsi, tant que cos« n'est pas nul, ou, ce qoi est la même chose, tant que les coordon* nées 1 et ir seront obliques, les forces proposées X et Y ne seront jamais réductibles aux deux forces S et FI données par les formules de Lagrange.

6. Dans l'analyse qui précède, j'ai pris simplement, pour représenter les forces P, Q, R,. . ., qu'il s'agissait de. réduire à d'autres, les fonctions primes d'une même fonction quelconque^ (p, ^, r, . . . ) des rayons vecteurs p^ q^r^. , ,^ suivant lesquels ces forces sont dirigées : ce n'est qu'une manière de reconnaître tout d'un coup la direction de la résultante par la direction de la normale à la surface courbe qu'on aurait en posant l'équation

y(/>, y, r,. . .) = constante.

Mais, comme on pourrait croire que cette kypothèse a quelque chose qui restreint notre démonstration au cas de certaines forces , il est bon de remarquer qu'elle convient à des forces P, Q, R,. . . , données comme on voudra. Et, en effet, quelle que soit la fonction/* que l'on ait choisie, comme on est le maître de placer les centres des forces partout où Ton veut sur leurs £rections /?, y, r, . . . , on peut toujours donner à ces lignes des longueurs qui rendent

Au reste , il est évident que si l'on propose des forces de grandeurs quelconques A, B, C,. . . , on peut toujours les regarder comme étant les fonctions primes de la fonction linéaire

Ap -hBiy-hC/'H- . . .,

prises relativement aux lignes p, y, r, . . . , suivant lesquelles ces forces sont supposées dirigées. Ainsi notre hypothèse est toujours permise et notre démonstration a toute la généralité désirable.

7. On voit donc que, dans la mécaitique analytique, qui est uniquinneat fondée sur le principe des vitesses virtuelles , les seules coordonnées qu'il soit permis d'employer doivent être de telle nature, que leurs diâereotieUes représentent, sur ces coordonnées, les projetions droites de la petite ligne qoe le point d'application des forces est supposé avoir décrite dans l'espace. C'est ce qui a lieu pour les coordonnées /[?, ^, r, . . . , x, ^, z, dont nous avons parlé, et enoore pour celles. qui consistent dans un rayon vecteur p, avec deux angles ou arcs de cercle f, xj/, perpendiculaires à ce rayon; etc. Mais il faut exclure toutes les coordonnées |, ir, 9, qw ne jouiraient pas de la même propriété. Ainsi, il n'est pas exact de dire que, dans cette métinxle analytique, nien n'oblige à se sennr de coordonnées reotAngles, plutâi que d'autres lignes ou quMUàés relatives aux lieux des corps, etc. {Sféca^ niqne anafytiqne, i" édition , page 35) ; et r<m doit même remarquer, à ce sujet, que le principe des viliesses virtuelles ne donne pas une méthode aussi générale qu'on parait le croire.

Et, par exemple, dans le caa de plusieurs forces P, Q, R, S, etc., en équilibre sur un point, le principe des vitesses virtuelles dit simplement que les forces étant projetées per-

pendiculcùrement sur une droite quelconque menée par ce point , doivent faire une somme nulle. Car, en nommant du la ligne quelconque qui marque le déplacement du point d'application dans l'espace, les lignes dp^ dq^ dr^ etc., ne sont autre chose que les projections droites de du sur les lignes p, ^, r, etc., qui marquent les directions des forces P, Q, R, etc. En nommant donc i, i ^ i"^ etc., les inclinaisons de ces forces sur la ligne Ju, on a

dp = du cos I, dq = du cos i\ dr = du cos i'', . . . ,

et l'équation des vitesses virtuelles

Pdp -h Qdq -h Rdr -f- . . . = o

devient , eu divisant tout par le facteur commun du^

P cos « H- Q cos «' -h R cos i" -f- . . . = o ;

ce qui signifie que les forces projetées à angle droit sur un axe quelconque doivent faire une somme nulle dans le cas de l'équilibre. Mais le principe de la composition des forces dit plus généralement, que les forces étant projetées sur un axe quelconque par des lignes parallèles à un même plan incliné comme on voudra sur cet axe, la somme de toutes ces projections obliques doit être nulle. Ce n'est pas qu'on ne puisse aisément démontrer cette seconde proposition par la première , mais l'expression du second principe est évidemment plus générale que celle du principe des vitesses virtuelles.

De même, on peut remarquer que les équations de l'équilibre d^un système solide ne sont démontrées, dans la Mécanique analytique, que par rapport à trois axes rectangulaires entre eux ; et pourtant, comme je l'ai fait voir dans ma Statique, des équations toutes semblables ont lieu par rapport à trois axes obliques quelconques. Le principe des vitesses virtuelles n'est donc pas , dans ce nouvel exemple, aussi général que le principe de la composition des forces. Il n'est pas même aussi direct ^ car, s'il mène aux trois premières équations en employant les coordonnées rectangles a:, j", z, il ne peut plus donner les trois dernières équations que par un changement de ces coordonnées en d'autres d'une espèce différente, et dont le choix paraît arbitraire, ou ne semble fait que pour obtenir des équations d'équilibre que l'on connaissait d'avance.

Au reste, quoique Lagrange nous laisse entendre que dans sa méthode on peut emplover toute espèce de coordonnées , pourvu qu'elles soient propres à déterminer les lieux des corps, il est fort remarquable que ce géomètre n'en ait jamais employé d'autres que celles qui conviennent réellement au principe des vitesses virtuelles : du moins je n'en connais pas d'exemple, et je crois même qu'on n'en trouverait point dans ses écrits. Car si , pour la solution de quelque problème, il avait essayé l'emploi de certaines coordonnées non permises dans sa méthode, il est très-probable que, par l'erreur sensible de quelque résultat, il eut été averti du défaut de ses formules ; et alors il n'aurait pas manqué de faire luimême, à ce sujet, une remarque expresse, au moins dans la seconde édition de son bel ouvrage.

8. Quoi qu'il en soit, tout aurait pu se corriger d'une manière très-simple, et qu'il me paraît bon d'indiquer avant de terminer celte JNote, parce qu'on y voit sur-le-champ ce qui cause l'erreur, et, de plus, ce qu'il faudrait faire pour l'éviter, sans exclure l'emploi de ces coordonnées qui y donnent lieu.

Et , en effet, quelle que soit la nature de ces coordonnées | .^ tt, a, . . . , dans lesquelles on veuille transformer les lignes ou rayons vecteurs p, q^ r, . . . , il est certain qu'on peut toujours, avec Lagrange, poser Téquation parfaitement exacte

où H, n, Z, . . ., ont les valeurs exprimées par les équations du n^ 1 .

Or, maintenant j'observe que , dans le premier membre , les différentielles dp, dq^ dr^ . . . , marquent bien les vitesses virtuelles du point d'application des forces suivant les lignes p^ ^, r, . . . , et qu'ainsi chaque terme Pdp est le moment ^virtuel de la force P. Si , dans le second membre, les différentielles J| , du^ dfj^ . . . , ont la même propriété, c'est-à-dire si chacune d^ marque la vitesse virtuelle du point suivant ^, chaque terme Zd^ sera aussi le moment virtuel d'une force représentée par H; et alors, de cette équation, qui présente deux sommes de moments virtuels, toujours égales de part et d'autre, on peut très-bien conclure que le système des forces H, II, £,. . ., est capable de remplacer le système des forces proposées P, Q, R, . . . .

Mais si les différentielles d^^ dii^ da^. . . , n'ont pas la propriété dont il s'agit, chaque terme Srf| ne sera pas le moment virtuel d'une force telle que E, et, d'après le principe même des vitesses virtuelles, on ne pourra pas conclure, comme ci-dessus, que l'ensemble des forces H, II, £,. • . , soit équivalent à l'ensemble des forces proposées. C'est là précisément qu'on tomberait dans cette erreur singulière, de tirer d*un principe vrai et d'une équation exacte , une conséquence fausse , parce qu'on aurait oublié d'observer que cette équation n'est pas actuellement sous une forme qui convienne à l'expression du principe. Et, en même temps, c'est là qu'on voit le moyen d'éviter cette erreur sans changer les coordonnées | , tt, a, . . . , qui pourraient y donner lieu.

Car, si l'on voulait avoir les vraies forces E', II', 2',. . . , qui , dirigées suivant les coordonnées $, TT, ex, . . ., sont capables de remplacer les forces P, Q, R, S, . . ., il faudrait commencer par mettre dans l'équation, au lieu des différentielles d'S^^ diï^ rfa,. . . , leurs valeurs en fonction des vitesses virtuelles mêmes, que je désignerai, comme au n^ 3, par â^ , dîT, 3<T, ... ; ensuite, rassembler en un seul terme tous ceux qui seraient affectés de JÇ, de même en un seul tous les termes affectés de Jtt, . . .•, et alors, notre même équation étant mise sous la forme nouvelle

fdp^Qdq^Kdr^ ... = S'J| -+- D'cÎTr-hS'dcH- . . .,

on pourrait rigoureusement conclure que l'ensemble des forces S', II', 2' équivaut parfaitement à l'ensemble des forces P, Q, R,. . ., puisque la somme des moments virtuels est toujours égale de part et d'autre.

9. Si l'on veut faire ce calcul pour le cas des coordonnées | , tt, a parallèles à trois axes Atéc. anal. I. 5i

3 98 NOTBS.

obliques, on trouvera , en conservft&t les dénominations du n° 3, les valeurs suivantes :

*" I — V — u} — v' -f- 2 Xwt

H- 2Ap I — V — ^' — v' -f- 2 >f*v

valeurs qui ne sont pas, comme on voit, les mêmes que celles de H, II, Z, et qui n*y pourraient revenir que dans le cas des cosinus X, fx, v, tous trois nuls, c'est-à-dire dans le cas de trois axes rectangulaires entre eux : ce qui éclaire et confirme notre précédente analyse.

10. On voit aussi > par ces mêmes expressions, que les équations

E'=o, rF=o, E' = o entraînent les suivantes :

et réciproquement. Si donc on ne demandait que les conditions de l'équilibre entre les forces P, Q, R^. . . , ou pourrait, sans avoir d'erreur à eraindre, se contenter de poser les trois équations

Mais si les forces P, Q, R, . . . , n'étant point en équilibre entre elles, on demande de les réduire à d'autres dirigées suivant Ç , tt, er, il faudra nécessairement prendre pour les forces équivalentes, non pas 3, II, £, mais bien les valeurs de H', IP, S'.

Et ce que je viens de dire s'^applique sans difficulté à un système quelconque de puissances qui agissent sur différents points liés entre eux comme on voudra. Ainsi tes équations de l'équilibre, données par Lagrange (page 35 de la 3* écKtion , art. 12 et suiv.), sont toujours bonnes *, mais les formules données , à la fin de Tart. i5, pour Téquivalence de deux systèmes de forces, ne sont exactes que dans le cas de certaines coordonnées; etc., etc.

Nous aurions encore plveieurs dioses i dire sur ce point de doctrine ^ nuiis cette discussion est déjà longue, et nous pourrions d'ailleurs, s'il était nécessaire, y revenir dans une autre occasion.