C'est une chose digne de remarque, que la même formule

^ = (p {x -\- kt) -h ^ {a: — kt), qui satisfait àTéquation en différences partielles,

satisfait aussi à la même équation en différences finies, qu'on peut représenter par

pourvu qu'on y suppose Dx = ^^D^, et Dt constant. En effet, on a, en ne faisant varier que Vx^

D* <b{x -i- kt)=^ip{x -hDoo -+■ kt)— a<b{x -h kt) -+- (t{x — Dx ■+- kt), et en ne faisant varier que le t,

D^<b{x -h kt)=:<S>{x -h kt -h kDt)— 2<b{x -hkt)-h<b{X'i-kt — kDt),

expressions qui deviennent égales en faisant Dx = kDt; et l'on trouvera la même chose pour la fonction W [x — kt) .

Dans rinfiniment petit, la condition dx = kdt disparaît, et l'intégrale a

toujours lieu; la raison en est qu'alors l'expression -^^ qui paraît représenter la différence seconde de f divisée par le carré de la différence de tj n'est plus qu'un symbole qui exprime une fonction simple de t dérivée de la fonction primitive ^ et différente de cette fonction, laquelle est tout à fait

indépendante de la valeur de dt. Il en est de même de l'expression ^ > par

rapport à x; c'est dans ce changement de fonctions que consiste réellement le passage du fini à Tinfiniment petit et l'essence du calcul différentiel.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. SSy

64. J'ajouterai encore ici une remarque qui peut être utile dans plusieurs occasions; elle a pour objet une nouvelle méthode d'interpolation qui résulte des formules de Fart. 48.

Nous avons vu que laTormule

„-iT4-(^)s-(^)«-]

devient égale à a^ lorsque r == i , 2, 3, . . . , n. Donc, si Ton a une suite de quantités a, , a^, a,, . . . , a^, dont le nombre soit /î, on pourra représenter par la formule précédente un terme quelconque intermédiaire dont le rang serait marqué par un nombre quelconque r entier ou fractionnaire, puisqu'en faisant successivement r = i,!2, 3, ...,/i, la formule donne a,, a^?

Le signe S indique la somme de tous les termes qui répondent à ^ = 1 , 2,3, . . . , /i, et le signe 2 la somme de tous les termes qui répondent à p=:i,a, 3, ...,/i, la quantité tt étant l'angle de deux droits.

Supposons qu'il n'y ait qu'un terme a, donné, on fera /i = 1 , ^ = i , p = I , et l'on aura pour l'expression générale de a^,

. rtt

a = a, sm —

Soit /i = 2, et les deux termes donnés a, , a^\ on fera ^ = 1 , 2, p = 1 , 2, et l'on aura

a^ = ^ ( A sm -5- -t- A sm -^ j

en supposant

A = a, sm ^ H- «^ sm -5- ?

= a, sm -5- -h «2 sm -5- •

Soit n = 3, et les termes donnés a, , a^, «j; on fera j- = i , 2 , 3, et p = i , 2, 3, et l'on aura

2/4/ • '"^ kif • ^''^ . aw • 3r7r\

a^ = -^ ( A sm — -h A sm -j- -h A sm —r- \ 7

568 HlklANIQDE ANALYTIQUE.

OÙ \e& coefficients A^ A^, A'^' sont détermines par ces formules,

A/ . Tc . a 11 . Stt

= a, sm^ -f-a,sin-j -h a,sui — î

= a, sin "T- -h flijj sin -îj- -f- a, sm -j- 9 4 4 4

Af// . Str . .6* . QTT

= a^ sin -^ + «3 sm -7- + a, sm ~- > 4 4 4

et ainsi de suite.

Dans la méthode ordinaire d'interpolation, on suppose qu'on fasse passer par les extrémités des ordonnées qui représentent les termes donnés, une courbe parabolique de la forme

j = a 4- èa; -f- cx^ H- ^' -h

Dans la méthode précédente, au lieu d'une courbe parabolique, on suppose une courbe de la forme

Af . /trx\ . A// . /aira:\ . ^fif . /3îrx\ 8m(^-j + A s.n(^— j-hA-'sin^ — j

et il y a bien des cas où cette supposition peut être préférable, comme plus conforme à la nature de la question.