PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

quelconque P, soit que cette force vienne de l'attraction ou de la répulsion de ces corps, ou d'un ressort placé entre eux, ou d'une autre manière quelconque. Soient/? la distance entre ces deux corps, et dp la variation de cette distance, en tant qu'elle dépend du changement de situation de Tun des corps; il est clair qu'on aura, relativement à ce corps, Vdp^ pour le moment virtuel de la force P. De même, si l'on désigne par dp" la variation de la même distance /?, résultante du changement de situation de l'autre corps, on aura, relativement à ce second corps, le moment Vdp" de la même force P: donc le moment total dû à cette force *sera représenté par V {dp^ ^ dp")\ mais il est visible que dp' H- dp" est la différentielle complète de /?, que nous désignerons par dp^ puisque la distance p ne peut varier que par le déplacement des deux corps, donc le moment dont il s'agit sera exprimé simplement par Vdp. On peut étendre ce raisonnement à tant de corps qu'on voudra.

5. Il suit de là que, pour avoir la somme des moments de toutes les forces d'un système donné, soit que ces forces soient extérieures ou intérieures, il n'y aura qu'à considérer en particulier chacune des forces qui agissent sur les différents corps ou points du système, et prendre la somme des produits de ces différentes forces multipliées chacune par la différentielle de la distance respective entre les deux termes de chaque force, c'est-à-dire entre le point sur lequel agit cette force et celui oii elle tend, en regardant, dans ces différentielles, comme variables toutes les quantités qui dépendent de la situation du système, et comme constantes celles qui se rapportent aux points ou centres extérieurs, c'est-à-dire en considérant ces points comme fixes, tandis qu'on fait varier la situation du système.

Cette somme étant égalée à zéro, donnera la formule générale de la Statique.

6. Pour donner à l'expression analytique de cette formule toute la généralité ainsi que la simplicité dont elle est susceptible, on rapportera la position de tous les corps ou points du système donné, ainsi que celle des centres, à des coordonnées rectangles et parallèles à trois axes fixes dans l'espace.

Nous nommerons, en général, x, j, z, les coordonnées des points auxquels les forces sont appliquées, et nous les distinguerons ensuite par un ou plusieurs traits, relativement aux différents points du système.

3o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Nous désignerons de mênie par a, 6, c, les coordonnées pour les centres des forces.

II est visible que les distances/;, q^ r, etc., entre les points d'application et les centres des forces, seront exprimées, en général, par la formule

\J{x -af -^ {y - by ^ {z-c)\

dans laquelle les quantités a^ h, c seront constantes ou du moins devront être regardées comme telles, pendant que x, j, z varient, dans le cas où elles se rapportent à des points placés hors du système, et où les forces sont extérieures; mais, dans le cas où les forces sont intérieures et partent de quelques-uns des corps du système même, ces quantités a, è, c deviendront x^^ ^^"^ ' , y'^ ^^"^ ' j z'" ****"•, et seront, par conséquent, variables.

Ayant ainsi les expressions des quantités finies p, q, r^ etc. , en fonctions connues des coordonnées des différents corps du système, il n'y aura plus qu'à différentier à l'ordinaire, en regardant ces coordonnées comme seules variables, pour avoir les valeurs cherchées des différences dp, dq, dr^ etc., qui entrent dans la formule générale de l'équilibre.

7. Mais quoiqu'on puisse toujours regarder les forces P, Q, R, etc., comme tendantes à des centres donnés; cependant, comme la considération de ces centres est étrangère à la cjuestion, dans laquelle on ne considère ordinairement comme données que la quantité et la direction de chaque force, voici des manières plus générales d'exprimer les différences dp, dq, dr, etc.

Et d'abord en supposant, ce qui est toujours permis, que la force P tende à un centre fixe, on a

p= ^{x-aY -^ {y -^bf ^ {z - c)\ et de là, en difïërentiant sans que a, è, c varient, si la force P est extérieure,

dp = '^~^ dx H- ^ - ~ dr -+- -— - dz.

Or il est facile de voir que ^~^ j - ^ ~ i -^^ sont les cosinus des angles

que la ligne p fait avec les lignes x — a, y — è, z — c. Donc, en général,

PREMIÈBE PARTIE. — LA STATIQUE. 3l

si Ton nomnie a, /3, y les ajogles que la direction de la force P fait avec les axes des x^ y^ z, ou avec des parallèles à ces axes, on aura

= cos a, = cos 0, = cos y ;

par conséquent,

dp = cos adx -h cos ^rfy -h cos ^rfz,

et ainsi des autres différences dq^dr^ etc.

Mais si la même force P, étant intérieure, agit sur les deux points qui répondent aux coordonnées a:, j, z et x\ j', z' pour les rapprocher ou éloigner Tun de l'autre, on aura alors, dans l'expression de/^,

a=:x\ b=^y\ c=:z\ et, par conséquent,

dp = cos a {dx — dx') -h cos /3 {dy — dy') H- cos y {dz — dz^) .

On remarquera, par rapport aux angles a, j3, 7, premièrement, que

cos «^ -h cos /3* H- cos 7^ = I ,

ce qui est évident par les formules précédentes; en second lieu, que si l'on nomme € l'angle que la projection de la ligne p sur le plan des x et y fait avec l'axë des x, on aura

= COS g, = sm g,

en supposant

TT = )/{x — ay -h (y — by]

donc, mettant pour x — a, j — è, leurs valeurs pcos a, p cosjS, on aura aussi

TT =p y/cos a^ -H cos |3^ = p y^i — cos^^ = /? sin 7;

donc

= smv cosg, ^ = sm y sm g,

et, par conséquent,

cos ûr = sin 7 cos s, cos ^ = sin y sin g.

8. Je considère ensuite que, puisque dp représente le petit espace que le corps ou point auquel est appliquée la force P peut parcourir suivant la direction de cette force, si l'on fait dp=^ o^ ce point ne pourra plus se mouvoir que dans des directions perpendiculaires à celle de la même force. Donc ûjp = o sera l'équation dififérentielle d'une surface à laquelle la direction de la force P sera perpendiculaire.

Cette surface sera une sphère si les quantités a, b, c sont constantes; mais elle pourra être une surface quelconque, en supposant ces quantités variables.

Supposons maintenant, en général, que la force P agisse perpendiculairement à une surface représentée par l'équation

Adr H- Bdf -h Cdz = o.

Pour faire coïncider cette équation avec Téquation

{x — a) dx -{- {y — b) dy -h {z — c)dz:= o qui résulte de la supposition e^ = o, il n'y aura qu'à faire

ce qui donne

x — a=^(z — c), jr — b = -^{z—c);

substituant ces valeurs dans l'expression de dp, on aura

, Adx -h-Bdy -^-Cdz ,

Ainsi ayant l'équation différentielle de la surface à laquelle la force P est perpendiculaire, on aura l'expression de sa vitesse virtuelle dp. On peut supposer

Adx -h Bdy -h Gdz = du,

u étant une fonction de a;, j, z; car on sait qu'une équation différentielle du premier ordre à trois variables ne peut représenter une surface, à moins qu'elle ne soit intégrable ou ne le devienne par un multiplicateur. On aura