PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

ainsi, par Talgorithme des différences partielles,

A du j^ du f>, du

ax dy az

et l'expression de dp deviendra

dp =

du

Donc le moment d'une force P perpendiculaire à une surface donnée par l'équation du = o sera

l?du

vWHir-'^-'

On déterminera de la même manière les valeurs des autres différences dg, dr, etc. , d'après les équations différentielles des surfaces auxquelles les directions des forces Q, R, etc. , sont perpendiculaires.

9. Mais sans considérer la surface à laquelle une force est perpendiculaire, comme on peut représenter une quantité quelconque par une ligne, on pourra regarder^ comme une fonction quelconque des coordonnées, et la force P comme tendante à faire varier la valeur de p. Alors Vdp sera également le moment virtuel de la force P; et de même Qdq,Kdr, etc., seront les moments des forces Q, R, etc. , en les regardant comme tendantes à faire varier les valeurs des quantités qr, r, etc., supposées des fonctions quelconques des mêmes coordonnées. Cette manière d'envisager les moments donne à la formule générale de l'équilibre une étendue beaucoup plus grande, et la rend susceptible d'un plus grand nombre d'applications {*).

10. Les valeurs des différences c^, dg^ dr^ etc., étant connues en fonction des différentielles des coordonnées des différents corps du système, il

(*) En rapprochant ce paragraphe 9 des paragraphes 6 et 18 (sect. IV), on est conduit à l'entendre de la manière suivante : Lorsque des forces auront pour la somme de leurs moments virtuels un produit de la forme Vàp^ p étant une fonction quelconque des coordonnées, on dira que le système des forces proposées équivaut à une force P, qui tend à faire varier la fonction p. C'est là une locution toute conventionnelle. Le mot force s*y trouve complètement détourné de sa signiBcation habituelle. Cette locution, du reste, n'a pas été adoptée par les géomètres. (/. Bertrand,)

Méc, anai, L S

n'y aura qu'à les substituer dans la formule générale

l?dp -hQrf^ + Rrfr -h ... =o,

et vérifier ensuite cette équation d'une manière indépendante des différentielles qu'elle renfermera.

Donc si le système est entièfement libre, en sorte qu'il n'y ait aucune relation donnée entre les coordonnçes des différents corps, ni, par conséquent, entre leurs différentielles, il faudra satisfaire à l'équation précédente, indépendamment de ces différentielles, et, pour cet effet, égaler séparément à zéro la somme de tous les termes qui se trouveront multipliés par chacune d'elles ; ce qui donnera autant d'équations qu'il y aura de coordonnées variables, et, par conséquent, autant qu'il en faudra pour déterminer toutes ces variables, et connaître par leur moyen la position de tout le système dans l'état d'équilibre.

Mais si la nature du système est telle, que les corps soient assujettis dans leurs mouvements à des conditions particulières, il faudra commencer par exprimer ces conditions par des équations analytiques que nous nommerons équations de condition; ce qui est toujours facile. Par exemple, si quelquesuns des corps étaient assujettis à se mouvoir sur des lignes ou des surfaces données, on aurait, entre les coordonnées de ces corps, les équations mêmes des lignes ou des surfaces données ; si deux corps étaient tellement joints ensemble, qu'iK dussent toujours se trouver à une même distance k l'un de l'autre, on aurait évidemment l'équation

et ainsi du reste.

Ayant trouvé les équations de condition, il faudra, par leur moyen, éliminer autant de différentielles qu'on pourra dans les expressions dp^ dq^ dr, etc. , en sorte que les différentielles restantes soient absolument indépendantes les unes des autres, et n'expriment plus que ce qu'il y a d'arbitraire dans le changement de situation du système. Alors, comme la formule générale de la Statique doit avoir lieu, quel que puisse être ce changement, il faudra y égaler séparément à zéro la somme de tous les termes qui se trouveront affectés de chacune des différentielles indéterminées ; d'où il viendra

autant d'équations particulières qu'il y aura de ces mêmes différentielles ; et ces équations étant jointes aux équations de condition données, renfermeront toutes les conditions nécessaires par la détermination de l'état d'équilibre du système ; car il est aisé de concevoir que toutes ces équations ensemble seront toujours en même nombre que les différentes variables qui servent de coordonnées à tous les corps du système, et suffiront, par conséquent, toujours pour déterminer chacune de ces variables.

11. Au reste, si nous avons toujours déterminé les lieux des corps pai^ des coordonnées rectangles, c'est que cette manière a l'avantage de la simplicité et de la Êicilité du calcul ; mais ce n'est pas qu'on ne puisse en employer d'autres dans l'usage de la méthode précédente, car il est clair que rien n'oblige dans cette méthode à se servir de coordonnées rectangles plutôt que d'autres lignes ou quantités relatives aux lieux des corps. Ainsi, au lieu des deux coordonnées a?,/, on pourra employer, lorsque les circonstances paraîtront l'exiger, un rayon vecteur p = y/or^-h j^, et un angle ^ dont la tangente soit -, ce qui donnera

j? = pcos(p, j = psin^,

en laissant subsister la troisième coordonnée z ; ou bien on emploiera un rayon vecteur p = v/a?^H- j^+ z^ avec deux angles ^ et 4? tels que

tang (P = ^, tang4 = - j-^-- ' ce qui donnera

*a; = pcos^cos^, y = pcos^sin^, z = psin^;

ou d'autres angles ou lignes quelconques.

Remarquons encore que, comme il n'y a proprement que la considération des différences dx^ dy^ dz qui entre dans la méthode doni il s'agit, il est permis de placer l'origine des coordonnées où l'on voudra ; ce qui peut servir à simplifier l'expression de ces différences.

Ainsi, en substituant p cos ^ et p sin ^, au heu de a: et j, on aura, en général ,

djo = dp cos ç — p sin ç rf(p, rfy = cip sin ^ + pcos ç d(p ;

mais, en faisant ^ = o, ce qui revient à placer Torigine de l'angle ç dans le rayon p, on aura plus simplement dx = dp^ et djr = pd^. Et ainsi des autres cas semblables.

12. En général, quel que soit le système de puissances dont on cherche l'équilibre, et de quelque manière que les points où elles sont appliquées soient liés entre eux, on peut toujours réduire les variables qui déterminent la position de ces points dans l'espace, à un petit nombre de variables indépendantes, en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, autant de variables qu'il y a de conditions, c'est-à-dire en exprimant toutes les variables, qui sont au nombre de trois pour chaque point, par un petit nombre d'entre elles ou par d'autres variables quelconques, qui, n'étant plus assujetties à aucune condition, seront indépendantes et indéterminées. Il faudra alors que l'équilibre ait lieu par rapport à chacune de ces variables indépendantes (*), parce qu'elles donnent lieu à autant de changements différents dans la position du système.

15. En effet, si l'on dénote par ^, 4» ^î ^tc. , ces variables indépendantes, en regardant les valeurs de/?, ^, r, etc., comme fonctions de ces variables, on aura

et l'équation de l'équilibre Pdp -h Qdq -h Rcfr* -f- . . . = o deviendra

(*) C'esl-à-dire il faudra que les coefficients des variations de chacune de ces variables soient nuls séparément. (/. Bertrand.)