PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE
doivent par conséquent donner, par la composition, la même rotation dQ qui résulte des rotations, d^^ dm^ d(p de sorte qu'on aura (art. Il)
dQ' = dQ'' + d^' -h é/0'''^ = d4' H- deo^ + d(p' ;
et, comme cette dernière équation doit être identique, il s'ensuit qu'on aura
ces relations :
cos a'' -h cos a"' + cos a"'* = I ,
cos^'^ + cos^e'"'* ^- cosyu"'* = i ,
cos y'' -h cos v''* + cos v"'^ = I ;
cos a' COSAc'H- cos a'' cos u^ -h cos a''' cos fJi" ^=^0^
cos a' cosv' -h cos a'' cos v" -t- cos a"' cos v" = o, cos fjL cos V H- cos ;*"cos v'' -h cos fjtl" cos v" = o,
qu'on peut aussi trouver par la Géométrie.
Par ces relations on peut avoir tout de suite les valeurs de ^4> ^^9 ^9 ^^ d^\ dQ\ d^'\ en ajoutant ensemble les valeurs de rffl', d^\ d¥\ multipliées successivement par cos a', cos a", cqsA"', cqs ^t', cosytc'', etc. ; on trouvera de cette manière :
d'i = cos a' rfô' -h cos /' dr -^ cos /' rfô'^ dco = cos yu'^r H- cos ^c'^rfô'' + cos A^^'rfr , d(p = cos v'rffl' -h cos v'dr + cos v"'rfÔ'''.
14. Si Ton nomme, de plus, tt', tt'^, tt'^' les angles que Taxe de la rotation composée rffl fait avec les axes des trois rotations partielles rfô', dQ'\ d¥^^ on aura, comme dans l'art. 11,
rfô'=cos9r'(f0, d^'=cos7r"d^, dr'=cos7r''dQ;
et si, dans les expressions données ci*dessus (art. 12) de dQ\ dQ^\ d^"\ on met pour (^4' ^^f ^^ leurs valeurs eu d^ de l'art. 1 1 , cos A«?d, cos a^^/O, cos vrfô, la comparaison de ces différentes expressions de d^\ d6^\ d^"' donnera, en divisant par rffl, ces nouvelles relations :
cos tt' = cos A cos a' -h cos Afc cos /te' -+-cos?cos/, costt" =cosAcosA''-h C03 a^cosm'^ -h cosvcosv'%
cos 71^" = cos A cos a"'^ h- cos |W cos /u'^' 4- cos V cos v"^
qu'on peut aussi vérifier par la Géométrie.
15. On voit par là que ces compositions et décompositions des mouvements de rotation sont entièrement analogues à celles des mouvements rectilignes.
En efTet, si sur les trois axes des rotations d'^, dco^ d^y on prend, depuis leur point d'intersection, des lignes proportionnelles respectivement à rf4» da>j d(pj et que l'on construise sur ces trois lignes un parallélipipède rectangle, il est facile de voir que la diagonale de ce parallélipipède sera Taxe de la rotation composée û?Ô, et sera en même temps proportionnelle à cette rotation dQ. De là , et de ce que les rotations autour d'un même axe s'ajoutent ou se retranchent suivant qu'elles sont dans le même sens ou dans des sens opposés, comme les mouvements qui ont la même direction ou des directions opposées, on doit conclure en général que la composition et la décomposition des mouvements de rotation se fait de la même manière et suit les mêmes lois que la composition ou décomposition des mouvements rectilignes, en substituant aux mouvements de rotation des mouvements rectilignes, suivant la direction des axes de rotation.
