PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

que

cos A — ^rf^. ^ j^t ^ j^t » cos,a — ^j^t^j^i^j^t y

cosv= ^

Cette droite sera Yaxe instantané de la rotation composée. En employant les angles A, ^e, v, et faisant, pour abréger,

on aura

rf^=rfôCOSA, rfû> = rffl COS /tfc, ^^ = fi?dcosv,

et les expressions générales de dx^ dy^ dz (art. 8) deviendront

ctr = (zcos^e — jcos y) rfô, rfy = (a? cos V — z cos A) û?Ô, cfe = (/cos A — ^ cos iul) de.

Le carré du petit espace parcouru par un point quelconque étant

dx^-h dx^-+- dz^^ il sera exprimé par

[(2;cos;* — jcosv)*-h (a?cosv — zcosA)*H- (/cos A — x cos /uy]dQ^ = [x^ -h/*+ «* — (a? COS A H-/cos^-hzcosv)*]rf9*,

à cause de

cos A^ + cos fi^ H- cos v^ = I .

Or il est facile de prouver que x cos A + / cos /jl -\- z cos r = o est l'équation d'un plan passant par l'origine des coordonnées, et perpendiculaire à la droite qui fait les angles A, ^6, v avec les axes des a?, j, z ; donc le petit espace

une démonstration géométrique très-simple. Euler avait aussi traité la question analytiquement. F^oyez les Mémoires de l'Académie de Berlin pour i^So. Vingt- cinq ans plus tard, Euler reprend ce théorème dans les Commentaires tle Saint-Pétersbourg pour 1775, et, après en avoir donné une démonstration géométrique qui s'applique aux mouvements finis , il avoue que la preuve analytique exige des calculs si prolixes, quUl a renoncé à les exécuter. Son Mémoire se termine ainsi : « Nemo » vero stupendum hune laborem in se suscipere volet... quamobrem egregia ista propriétés geometris » pulcherrimam occasionem praebere potest vires suas in ista proprietate penitus enucleanda exer- » cendL » [Novi Commentarii^ X775; page 207.) Dans le tome V du Journal de M. Liouville, page 4o6, Olinde Rodrigues a donné, d'une manière très-élégante, cette démonstration désirée par Euler. (/. Bertrand,)

décrit par un point quelconque de ce plan sera

et, comme l'axe instantané de rotation est perpendiculaire à ce même plan, il s'ensuit que dQ sera Tangle de la rotation autour de cet axe, composée des trois rotations partielles <i4, rfû>, d<p autour des trois axes des coordonnées.

12. Il suit de là que des rotations quelconques instantanées d^^ dcûj d^^ autour de trois axes qui se coupent à angles droits dans un même point, se

composent en une seule, dQ = ^d'^'^ •+• dao^ -+- d(p^ , autour d'un axe passant par le même point d'intersection^ et faisant avec ceux*là des angles A, yu, v, tels que

dà dtù do

et, réciproquement, qu'une rotation quelconque rffl autour d'un axe donné, peut se décomposer en trois rotations partielles exprimées par cosA<ifl, cos ludQj cosvdQ autour de trois axes qui se coupent perpendiculairement dans un point de l'axe donné, et qui fassent avec cet axe les angles A, yu, v ; ce qui fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvements instantanés ou les vitesses de rotation.

Ainsi, si l'on prend trois autres axes rectangulaires enti*e eux, qui fassent avec Taxe de la rotation ^4 '®* angles A', A'^ a"^; avec Taxe de la rotation doj les angles ^', /u'\ ^"\ et avec l'axe de la rotation rf(p les angles v', v\ v"^ \ la rotationc^4p^^^^ *^ résoudre en trois rotations, cos 7ld'\^Q^o%7l'd'\^Q.o% A'"rf4 autour de ces nouveaux axes ; la rotation dcù se résoudra de même en trois rotations, cos^e'rfû), co^f/doù^ cjo^fjJ^doù^ et la rotation d(p en trois rotations, cos/rf^, cos v'''^^^, cos v'V(p autour des mêmes axes. De sorte qu'en ajoutant ensemble les rotations autour d'un même axe, si l'on nomme rfô', rfô'^ d¥^ les rotations totales autour des trois nouveaux axes, on aura

rffl' = cos a' d'\ H- cosyu' dùà -+- cosv' c?ç, d^^ = cos a'^ ^4 ^~ cosyu'^ dùù -+- cos ^" rf^, rfr = cosA'''rf4 -+- co^f4!"dcù 4- cosv'"rf(p.

13. Les rotations d-^^ dcû^ d<p sont donc réduites de cette manière à trois rotations rfô', rffl", dQ^\ autour de trois autres axes rectangulaires, lesquelles