PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

relatifs à trois autres axes rectangulaires qui font respectivement avec ceux-là les angles a', a^', /; A% /^^ /'; /% ^\ v'".

On trouve une démonstration géométrique de ce théorème dans le tome VII des Nova Acta de l'Académie de Pétersbourg (*).

17. Si Ton suppose les rotations d^^ dcù^ d(p proportionnelles à L, M, IN , et qu'on fasse

H = yJW + M^ + N%

on aura, par l'art. 11,

L = H cos A, M = H cos /u, N = H cos v,

et les trois moments qu'on vient de trouver se réduiront, par les relations de l'art. 14, à cette forme simple,

Hcostt', Hcostt'', Hcostt'".

Or tt', 9r'^, tt'" sont les angles que les axes des rotations rfô', d¥ ^ rfO'" font avec l'axe de la rotation composée d^. Donc si l'on faXl coïncider l'axe de la rotation rffl' avec l'axe de la rotation rfô, on a 7r'= o, et tt'', tt'" chacun égal à un angle droit; par conséquent, le moment autour de cet axe sera simplement H, et les deux autres moments autour des axes perpendiculaires à celui-ci deviendront nuls.

D'oii l'on conclut que des moments égaux à L, M, N, et relatifs à trois axes rectangulaires, se composent en un moment unique H égal à

\/L^ h- M' -+- N^, et relatif à un axe qui fait avec ceux-là les angles A, ^, v,

' tels que

cos A = ô ' cos ^ = u > cos V == 7j •

Ce sont les théorèmes connus sur la composition des moments ; et il est évident que cette composition suit aussi les mêmes règles que celle des mouvements rectilignes. On aurait pu la déduire immédiatement de la composition des rotations instantanées, en substituant les moments aux rotations

(*) Celte démonstration est d'Euler. (/. Bertrand,)

Mée. anal, I. 8

qu'ils produisent, comme Varignon a substitué les forces aux mouvements rectilignes (*).

^ IV. — Propriétés de l'équilibre, relatUfes au centre de gravité.

18. Si, dans les formules de Tart. 9, on suppose que toutes les forces P, P', P'', etc., agissent dans des directions parallèles entre elles, on aura

par conséquent, si Ton fait, pour abréger,

X = Pa« 4- P V + V'x' + . . . ,

Y ^ Pj + py H- py 4- . . . ,

Z = Pz + PV+P'V + ...,

les quantités L, M, N deviendront

L = YcosT^ — ZcosjS, M= Zcosa — Xcos7, N = Xcos|3 — Ycosa,

et les équations de 1 équilibre seront L = o, M = o, N = o, dont la troisième est ici une suite des deux premières. Mais, comme on a d'ailleurs l'équation cos a^-h cosjS^ H- cos7^= i (sect. II, art. 7), on pourra déterminer par ces équations les angles a, |3, 7, et l'on trouvera

cos a =

cos fi = - 7- >

cos 7 =

(*) Cette assimilation n'est pas permise. Une force qai agit sur un corps solide mobile autour d*un axe donné, produit une rotation proportionnelle à son moment; mais, pour deux axes différents, les moments d'inertie jouent un rôle , et Ton n'a pas le droit de substituer les moments aux rotations qu'ils produisent. Poj-ez, à ce sujet, un Mémoire de M. Poinsot, Mémoires de l'Institut, tome VU, page 564. (/. Bertrand, )