PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. D

Donc la position des corps étant donnée par rapport à trois axes, il faudra, pour que tout mouvement de rotation du système soit détruit, que le système soit placé relativement à la direction des forces, de manière que cette direction fasse avec les mêmes axes les angles a, p, > qu^on vient de déterminer.

19. Si les quantités X, Y, Z étaient nulles, les angles a, p, y demeureraient indéterminés, et la position du système, relativement à la direction des forces, pourrait être quelconque; d'où résulte ce théorème : Si la somme des produits des forces par allèles , par leurs distances à trois plans perpendiculaires entre eux, est nulle par rapport à chacun de ces trois plans^ V effet des forces pour faire tourner le système autour du point commun d'intersection des mêmes plans se trouvera détruit.

On sait que la gravité agit verticalement et proportionnellement à la masse ; ainsi, dans un système de corps pesants, si Ton cherche un point tel, que la somme des masses multipliées par leurs distances à un plan passant par ce point, soit nulle relativement à trois plans perpendiculaires, ce point aura la propriété que la gravité ne pourra imprimer au système aucun mouvement de rotation autour du même point. C*est ce point qu'on appelle centre de gravité y et qui est d'un usage si étendu dans toute la Mécanique.

Pour le déterminer, il n'y a qu'à chercher sa distance à trois plans perpendiculaires donnés. Or, puisque la somme des produits des masses par leurs distances à un plan passant par le centre de gravité est nulle, la somme des produits des mêmes masses par leurs distances à un autre plan parallèle à celui-ci sera nécessairement égale au produit de toutes les masses par la distance du centre de gravité au même plan ; de sorte qu'on aura cette distance en divisant la somme des produits des masses et de leurs distances par la somme même des masses ; et de là résultent les formules connues pour les centres de gravité des lignes, des surfaces et des solides.

20. Mais il y a une propriété du centre de gravité qui est moins connue,

et qui peut être utile dans quelques occasions, parce qu'elle est indépendante

de la considération étrangère des plans auxquels on rapporte les différents

corps du système, et qu'elle sert à déterminer leur centre de gravité par la

simple position respective des corps. Voici en quoi elle consiste.

6o MECANIQUE ANALYTIQUE.

Soit A la somme des produits des masses prises deux à deux , et multipliées de plus par le carré de leur distance respective , cette somme étant en même temps divisée par le carré de la somme des masses.

Soit B la somme des produits de chaque masse par le carré de sa distance à un point quelconque donné, cette somme étant divisée par la somme des masses.

On aura y/B — A pour la distance du centre de gravité de toutes les masses au point donné. Ainsi, comme la quantité A est indépendante de ce points si Ton détermine les valeurs de B par rapport à trois points différents pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces trois points, et, par conséquent, sa position par rapport à ces points. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considérer deux points, et il n'en faudrait qu'un seul si tous les corps étaient sur une ligne droite donnée.

£n prenant les points donnés dans les corps mêmes du système, la position de son centre de gravité sera donnée uniquement par les masses et par leurs distances respectives. C'est en quoi consiste le principal avantage de cette manière de déterminer le centre de gravité.

Pour la démontrer, je reprends les expressions de X, Y, Z de l'art. 18, et prenant de plus trois quantités arbitraires^, g, h, je forme ces trois équations identiques , faciles à vérifier :

[X— (Ph-P'+P"-h...)/]»

= (P H- F-h F-h . . .) [p {x—fy-i-p'{x'—fy-{-p'{x"—/y-]- . . . (

- PF {x — xy — pp"{x — x"y — p'p" (a/— xy — . . . ,

[Y-(Ph-P'h-P"+...)^]»

-PP'(r-jT-PP''(j-.r'r-P'P"(.r'-/0----.

[Z — (PH-P'-i-P«'-f-...)A]»

= {P + P'-hP''H-...)[P(2/t)»H p'(2'A)»H-P"(2"-A)*H-...J

-PP'(z-2')»-PP''(z-2")*-P'P''(z'-z'0*-----

Les quantités P, P', P", etc., représentent les poids ou les masses des