PREMIERS PARTIE, — LA STATIQUE

en augmentant, mais il ne s'ensuit pas encore qu'elles doivent, en efFet, aller en augmentant; nous démontrerons cette dernière proposition dans la sixième section de la Dynamique.

Si tous les coefficients/*, g^ A, etc., étaient nuls, on sait, par les méthodes de maximis et minimisy qu'il faudrait pour l'existence d'un minimum ou d'un maximum, que les termes de trois dimensions disparussent, et que ceux de quatre dimensions fussent constamment positifs ou négatifs ; et c'est aussi de cette manière qu'on pourra juger de la stabilité de l'équilibre donné par l'évanouissement des termes de la première dimension, lorsque ceux de deux dimensions s'évanouissent en même temps.

26. Au reste, ces propriétés des maooima et minima, qui ont lieu dans l'équilibre d'un système quelconque de forces, ne sont qu'une conséquence immédiate de la démonstration que nous avons donnée du principe des vitesses virtuelles à la fin de la première section.

En effet, soit/? la distance entre les deux premières moufles, Tune fixe, Tauti^e mobile, jointes par P cordons qui produisent une force propcwrtionnelle à P, et qu'on peut représenter simplement par P, en prenant le poids qui tend la corde pour l'unité; soit de même q la distance entre les deux moufles qui produisent la force Q, r la distance entre les moufles qui produisent la force R, etc. Il est évident que P/? sera la longueur de la portion de la corde qui embrasse les deux premières moufles; pareillement, Q9, Rr, etc. , seront les longueurs dés portions de la corde qui embrasse les autres moufles, de sorte que la longueur totale de la corde embrassée par les moufles fixes et mobiles sera P/? •+- Qq -+- Rr h- . . . .

Ajoutons à cette longueur celle des différentes portions de la corde qui se trouveront entre des poulies fixes pour faire les renvois nécessaires au changement de direction, et que nous désignerons par a; ajoutotis-y encore la portion de la corde qui se trouvera entre b dernière pouKe de renvoi et le poids attaché à l'extrémité de la corde, et que nous désignerons par a; enfin soit /la longueur totale de la corde, dont la première extrémité est fixement attachée àun point immobile dans l'espace, et dont l'autre extrémité porte le poids ; on aura évidemment Téquation

/ =z P^ H- Q^ -+- Rr -+- ... -h a -h a,

d'où r on tire

u = l — a — P/7 — Qq — Rr — ....

Or, en supposant les forces P, Q, R, etc. , constantes, c'est-à-dire indépendantes de /?, qf , r, etc. , ce qui est toujours permis dans l'équilibre où l'on ne considère que des déplacements infiniment petits, il est visible (*) que la quantité Pp -h Q^ -f- Rr + ... sera la même que nous avons désignée par II dans l'art. 21; ainsi on aura, en général,

où / et a sont des quantités constantes.

27. Maintenant il est clair que, comme le poids tend à descendre le plus qu'il est possible, l'équilibre n'aura lieu, en général, que lorsque la valeur de w, qui exprime la descente du poids depuis la poulie fixe, sera un maximum, et que, par conséquent, celle de n sera un minimum; et Ton voit en même temps que, dans ce cas, l'équilibre sera stable, parce qu'un petit changement quelconque dans la position du système ne pourra que faire remonter le poids, lequel tendra à redescendre et à remettre le système dans l'état d'équilibre.-

Mais nous avons vu que pour l'équilibre, il suffit que l'on ait dû = o, et, par conséquent, rfw = o, ce qui a lieu aussi lorsque la valeur de u est un minimum, auquel cas le poids, au lieu d'être le plus bas, sera, au contraire, le plus haut. Dans ce cas, il est visible qu'un petit changement dans la position du système ne pourra que faire descendre le poids, qui alors ne tendra plus à remonter, mais à descendre davantage, et à éloigner de plus en plus le système du premier état d'équilibre ; d'où il suit que cet équilibre n'aura point de stabilité, et qu'étant une fois troublé, il ne tendra pas à se rétablir.

(*) Cette substitution de forces constantes à des forces variables changerait, au contraire , complètement la nature de la fonction n. Si Ton considère, par exemple, une attraction inversement

proportionnelle à la distance et égale à ^9 on SLurufPdp zrr 1 C ^^ r= p log^; en remplaçant, au

contraire, P par une constante, on jurait pour intégrale P/^^ ce qui diffère beaucoup du résultat précédent. On peut dire seulement que, pour la valeur des variables qui correspond à Téquilibre, les deux fonctions, quoique très-différentes, ont la même variation. (/. Bertrand.)