Fx^ -+- G^ -h Hj^ -i-Kxz-h Ljz h- Mz
les quantités A, B, Ç, etc., étant données en a, 6, c, etc. Mais, dans Tétat d'équilibre, la valeur de dR doit être nulle, de quelque manière qu'on fasse varier la position du système ; donc il faudra que la différentielle de n soit nulle en général, lorsque a:, j, z, etc. , sont égales à zéro ; donc
On aura donc, pour une situation quelconque très-proche de celle de l'équilibre, cette expression de n :
n = A H- Fo:' 4- GcTj 4- Hr* 4- K^z4- Ljz 4- Mz' 4-
dans laquelle, tant que les variables a?, y, z, etc., sont très-petites, il suffira de tenir compte des secondes dimensions de ces variables.
24. Maintenant il est clair que, pour que la quantité n soit un minimum, lorsque a?, j, z, etc., sont nulles, il faut que la fonction
Fx^ 4- Gxf 4- Hj^ 4- Ka?z 4- Lyz 4- Mz'
que je nommerai X, soit constamment positive, quelles que soient les valeurs des variables x, j, z, etc.
(*) M. Iiejeune-Dirichlet a simplifié cetre démonstratioD en la rendant plus rigoureuse, {royez Journal de Crelie, tome XXXH, et Journal de M. Liouville, tome XII, page 474-) Nous reproduisons sa Note à la fin du volume. (7. Bertrand,)
Or cette fonction est réductible à la forme
en faisant
Kz
GK\ z
Donc, pour qu'elle soit toujours positive, il faudra que les coefficients /J g", A, etc. , soient positifs ; et l'on voit en même temps que, si ces coefficients sont positifs, la valeur de X sera nécessairement positive, puisque les quantités ^, «, ^, etc., sont réelles lorsque les variables .r, /, z, etc., le sont.
Si, au contraire, la quantité II devait être un maximum lorsque a;, j, 2, etc., sont nuls, il faudrait que la fonction X fût constamment négative, et, par conséquent, que les coefficients y, g*, A, etc., fussent négatifs; et, réciproquement, si ces coefficients sont négatifs, il s'ensuivra que la valeur de X sera nécessairement négative.
2S. On aura donc, en ne tenant compte que des secondes dimensions des quantités très-petites a>, ^, z, etc.,
et l'équation de la conservation des forces vives (art. 22) deviendra M'tt'^-hM''i^''*-hM'V'^ + ...===const. — 2A— 2/f — 2g-»ï^ — 2A^\...
Or, dans l'état d'équilibre, on a (hyp.),
.r=o, y = Oy z=o,...; donc aussi •
§ = 0, n = o, ^ = o, etc. (art. 19) ;
Mée. anal, I.
donc, si Ton suppose qu'on dérange le système de cet ëtat, en imprimant aux corps M', M", M''', etc., les vitess&s très-petites V, V, N"\ etc., il faudra que l'on ait w' = V', u*'-=\"^ m"'=V''', etc., lorsque ?=o, w = o, ^z= o, etc. On aura donc
M'V'^+M''V''^4-M'^W^^+ ... = cônst. — 2A;
ce qui servira à déterminer la constante arbitraire. Ainsi, réquation précédente deviendra
d'où il est aisé de tirer ces deux conclusions :
1°. Que, dans le cas du minimum de n, dans lequel les coefficients/ g, A, etc., sont tous positifs, la quantité toujours positive
'^fV-^ sg'n'^- 3A^^--f- ...
devra nécessairement être moindre, ou du moins ne pourra pas être plus grande que la quantité donnée M'V'^-h M''V''^4- M'''V'''^+ . . . , qui est elle-même très-petite; par conséquent, si Ton nomme cette quantité T, on aura, pour chacune des variables 0, «, ^, etc., ces limites
V2/' V2/ VaA
entre lesquelles elles seront nécessairement renfermées; d'où il suit que, dans ce cas, le système ne pourra que s'écarter très-peu de son état d'équilibre, et ne pourra faire que des oscillations très-petites et d'une étendue déterminée.
2*". Que dans le cas du maximum de n, dans lequel les coefficients y i gj A, etc., sont tous négatifs, la quantité toujours positive
pourra croître à l'infini, et qu'ainsi le système pourra s'écarter de plus en plus de son état d'équilibre. Du moins l'équation ci-dessus fait voir que, dans ce cas, rien n'empêche que les variables 0, w, ^, etc., n'aillent toujours
