PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

lignes/?, q^ r, etc., et, par conséquent, tendantes à diminuer ces lignes, il faudra également regarder les forces A, /u, etc. , comme tendantes à diminuer les valeurs des fonctions L, Mj etc.

7. II résulte de là que chaque équation de condition est équivalente à une ou plusieurs forces appliquées au système, suivant des directions données, ou, en général, tendantes à faire varier les valeurs de fonctions données (*) ; en sorte que l'état d' équilibre du système sera le même, soit qu'on emploie la considération de ces forces, ou qu'on ait égard aux équations de condition.

Réciproquement , ces forces peuvent tenir lieu des équations de condition résultantes de la nature du système donné ; de manière qu'en employant ces forces, on pourra regarder les corps comme entièrement libres et sans aucune liaison. £t de là on voit la raison métaphysique, pourquoi l'introduction des termes ArfL -h fJidM -h . . . , dans l'équation générale de l'équilibre, fait qu'on peut ensuite traiter cette équation comme si tous les corps du système étaient entièrement libres : c'est en quoi consiste l'esprit de la méthode de cette section.

A proprement parler, les forces en question tiennent lieu des résistances que les corps devraient éprouver en vertu de leur liaison mutuelle, ou de la part des obstacles qui, par la nature du système, pourraient s'opposer à leur mouvement; ou plutôt ces forces ne sont que les forces mêmes de ces résistances, lesquelles doivent être égales et directement opposées aux pressions exercées par les corps. Notre méthode donne, comme l'on voit, le moyen de déterminer ces forces et ces résistances ; ce qui n'est pas un des moindres avantages de cette méthode.

8. Dans les cas où les forces P, Q, R, etc., ne sont pas en équilibre, et ou l'on demande de les réduire à des forces équivalentes dont les directions soient données, il suffira d^ajouter à la somme des moments des forces P, Q, R, etc., les moments résultant des équations de condition L = o,

( ) Cette proposition importante a la même généralité que le principe des vitesses virtuelles, et elle est souvent d'une application plus commode. Lagrange y a été conduit en suivant analytiquement les conséquences de sa formule d'équilibre, mais M. Poinsot en a donné depuis une démonstration directe et fondée sur les principes élémentaires de la Statique. Voyez Journal de VÉcole Polytechnique, 1 3« cahier, tome VI. ( /. Bertrand. )

Mec. anal. I. lo

74 • MISCANÏQUE ANALYTIQUE.

M i= o, etc., et l'on aura la somme d^s moments des forces équivalentes ûU5t forces P, Q, R, etc., et à l'action que les corps exercent les uns sur les autres, en vertu de ces mêmes équations de condition.

En employant ainsi toutes les équations de condition données par la nature du système proposé, on pourra regarder comme indépendantes les coordonnées de chaque corps du système, et l'on aura pour chacune de ces coordonnées, telles que a:, une quantité de la forme

dx ^ dx dx

, dL ^M <iN

qui exprimera la force résultante suivant la dîrecticm de la ligne ^^ laquelle devra être nulle dans le cas d'équilibre, comme on l'a vu dans l'art» 3 {*).

§11. — Apptic<Uion de la même méthode à la formule de l'équilibre des corps continus y dont tous les poinls sont tirés par des forces quelconques.

9. Jusqu'ici nous avons considéré les corps comme des points, et nous avons vu comment on détermine les lois de l'équilibre de ces points, en quelque nombre qu'ils soient, et quelques forces qni agissent sur eux. Or un corps d'un volume et d'une figure quelconque, n'étant que l'assemblage d'une infinité de parties ou points matériels, il s'ensuit qu'on peut déterminer aussi les lois de l'équilibre des corps de figure quelconque, par l'application des principes précédents. #

En effet, la manière ordinaire de résoudre les questions de Mécanique qui concernent les corps de masse finie, consiste à ne considérer ti'abord qu'un certain nombre de points placés à des distances finies les uns des autres, et à chercher les lois de leur équilibre ou de leur mouvement; à étendre ensuite cette recherche à un nombre indéfini de points ; enfin à supposer que le nombre des points devienne infini, et qu'en même temps leurs distances deviennent infiniment petites, et à faire aux formules trouvées pour un

(*) Cette ftOTnme, calculée relatîvemenft a«x points auxquels la résultante doit être appliquée, fournira les composantes de cette résultante. ïl faudra, pour les autres f^oînts, f^égafer à zéro. On doit remarquer que le problème sera, en général, impossible ou indéterminé. (/. Bertrand,)