S (A^TL -+- A^^M

et ajoutant cette intégrale à celle de l'article précédent, on aura l'équation générale de l'équilibre.

On observera qu'il n'est pas nécessaire que J^L, (TM, etc., soient les variations exactes de fonctions de x^ y^ z, dx^ rfy, etc. , mais qu'il suffit que J^L=:o, <JM = o, etc. , soient les équations de condition indéterminées entre les variations de Xy /, z, dx^ dj, etc. (art. 5).

Mai^ il faut remarquer qu'outre les forces qui agissent, en général, sur tous les points de la masse, il peut y en avoir qui n'agissent que sur des points déterminés de cette masse, lesquels points sont ordinairement ceux qui répondent aux extrémités de la masse donnée, c'est-à-dire au commencement et à la fin de l'intégrale désignée par S.

De même, il pourra y avoir des équations de condition particulières à ces points, et que nous nommerons équations de condition déterminées^ pour les distinguer de celles qui ont lieu, en général, dans toute l'étendue de la masse; nous les représenterons par A = o, B = o, C = o, etc. , ou plutôt par SA = o, SB = o, SC = o, etc.

Nous marquerons d'un trait, de deux, de trois, etc., toutes les quantités qui se rapportent à des points déterminés de la masse, et en particulier nous marquerons d'un seul trait celles qui se rapportent au commencement de l'intégrale désignée par S, de deux traits celles qui se rapportent à la fin de cette intégrale, de trois ou davantage celles qui se rapportent à des points intermédiaires quelconques.

Ainsi il faudra ajouter à l'intégrale

la quantité

P'^iP'+ Q'^9'+ R'^r'+ . . . + P'^p'-+- Q'Sq'-h K'Sr

et à l'intégrale la quantité

S(A^L-hyU(rM+ ...)

acTA H- /3<^B -+- 7iC

De sorte que l'équation générale de l'équilibre sera de cette forme : S (P(J> + QSq + R^r -4- . . .) rfm + S(A(?L -+- a^^M -h . . .)

-h aSA + |3^B 4- ySC -h . . . = o.

14. Comme les fonctions L, M, etc., peuvent contenir non-seulement les variables finies Xy j, z, mais encore leurs différentielles, les variations SLy ^M, etc., donneront des termes multipliés par Sxj ^j, Sz^ icbc, «Trf)', etc., et l'équation précédente, lorsqu'on y aura substitué les valeurs de cJ/?, iq^ Sry etc., (TL, J^M, etc., en ^x, Sy, Sz^ Sdxy Sdy^ Sdzj etc., ainsi que celles de Sp\ (J>", etc., ^q\ ^q\ etc., M, ^B, etc., en ^x\ Sx\ etc., J>', Sy, etc., Sdx\ etc., déduites des circonstances particulières de chaque problème, aura toujours une forme analogue à celles que le Calcul des variations fournit pour la détermination des maxima et minima des formules intégrales indéfinies; ainsi il n'y aura qu'à y appliquer les règles connues de ce calcul.

On considérera donc que, comme les caractéristiques d et (T marquent deux espèces de différences entièi^ement indépendantes entre elles, quand

PREMIEAE PARTIE. — LA STATIQUE. 7g

ces caractéristiques se trouvent ensemble, il doit être indifférent dans quel ordre elles soient placées, parce qu'en supposant qu'une quantité varie de deux, manières différentes, on a toujours le même résultat, quel que soit l'ordre dans lequel se font ces variations. Ainsi ^dx sera la même chose que d^x^ et, pareillement, id^x sera la même chose que d^S^x, et ainsi de suite. On pourra donc toujours changer à volonté l'ordre des caractéristiques, sans altérer la valeur des différences; et pour notre objet il sera à propos de transporter la caractéristique d avant la S^ afin que l'équation proposée ne contienne que les variations des coordonnées, et les différentielles de ces mêmes variations.

Il en est de même des signes d'intégration J ou S, par rapport à la caractéristique des variations ^. Ainsi on pouna toujours changer les symboles ^f ou ^S en fS ou SiT.

C'est en qMoi consiste le prunier principe fondamental du Calcul des "variations.

15. Or les différentielles d^Xj é/Jj, dS^z, d^Sx^ etc., qui se trouvent sous le signe S, peuvent être éliminées par l'opération connue des intégrations par parties. Car, en général,

JùdSx = aSx — f^xdùy fad^^x = ild^x — dilSx + f^xd^ù,

et ainsi des autres, oii il faut observer que les quantités hors du signe / se rapportent naturellement aux derniers points des intégrales, mais que pour rendre ces intégrales complètes, il faut nécessairement en retrancher les valeurs des mêmes quantités hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s'évanouisse dans ces points; ce qui est évident par la théorie des intégrations.

Ainsi en marquant par un trait les quantités qui se rapportent au commencement des intégrales totales désignées par S, et par deux traits celles qui se rapportent à la fin de ces intégrales, on aura les réductions suivantes :

Sad^x = iî^cTo?'' — a'^x' — S^xda,

S[ld'Sx=ù'dix''— dÇi"^x'— Çi'd^x'

d£i'^x'-\-^Sxd^a,

8o MECANIQUE ANALYTIQUE.

lesquelles serviront à faire disparaître toutes les différentielles des variations qui pourront se trouver sous le signe S. Ces réductions constituent le second principe fondamental du Calcul des variations.

16. De cette maJiière donc, Téquation générale de l'équilibre se réduira à la forme suivante :

S (ScTo? -h 2<Jy -h ^a^z) -h A = o,

dans laquelle S, 2, ^ seront des fonctions de a?, j, z et de leurs dififérentielles, et A contiendra les termes affectés des variations ^x\ Sjr\ Sz\ S^x'\ ^y y etc., et de leurs différentielles.

Donc, pour que cette équation ait lieu, indépendamment des variations des différentes coordonnées, il faudra que Ton ait, i° S, 2, î^, nuls dans toute rétendue de l'intégrale S, c'est-à-dire dans chaque point de la masse; 2"* chaque terme de A aussi égal à zéro.

Les équations indéfinies S=o, 2 = o, V = o, donneront, en général, la relation qui doit se trouver entre les variables x^ y,z\ mais il faudra pour cela en éliminer les variables indéterminées A, /u, etc., lesquelles sont en même nombre que les équations de condition indéterminées ^

L = o, M = o, . . . (art. 13).

Or je remarque que ces équations ne sauraient être au delà de trois (*) ; car, puisque ce sont des équations indéfinies entre les trois variables x^ y, z et leurs différentielles, il est clair que s'il y en avait plus de trois, on aurait plus d'équations que de variables, en sorte qu'il faudrait que la quatrième fut une suite nécessaire des trois premières, et ainsi des autres. Donc il n'y aura jamais plus de trois indéterminées A, a&, v à éliminer, en sorte qu'on pourra toujours trouver les valeurs de ces indéterminées en fonction de «2?, j, z. Mais les équations qui disparaîtront par ces éliminations seront remplacées par les équations mêmes de condition, de sorte qu'on pourra toujours con-

(^) Il est même impossible qu'elles soient au nombre de trois, car elles sufliraient alors à la détermination de la position de chaque point sans qu*il fût nécessaire de connaître les forces appliquées au système. {/. Bertrand,)