PREMIÈRE PARTIE. — tA STATIQUE

Maintenant, en faisant tout varier, on aura

^ ' dx dx dx dx die ^ dx

d.(ôy—yix) dx

Substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

iy y'^x — Su,

et, par conséquent,

Sy=Su-hy'Sx,

on aura

rfu r rfu rf*« au «i»du

• ' ify '' ^ dy' dx ^ dy" dx* ^ •'••

Mais en difierentiant par d la fonction U et substituant j' do; pour dy, y" de pour dy' , on a

**^— V'fe 4r*^ dy'^ ^ dy''^ ^ -'jOX,

d'où l'on tire

^377^x7J H- ••• — :jz»'-^'

Donc enfin

Si la quantité U contenait une autre variable z avec ses différentielles as' T^ ' ^^* y ^^ faisant ^ = z', ^ = z'^ et opérant de la même manière,

on trouverait les termes suivants :

dV . rlU dâi^ rfU d^di'

dz dz^ dx dz" dx*

dans lesquels

à ajouter à la valeur précédente de J'U, et ainsi de suite.

21. Donc, si on a la fonction intégrale fUcLv k rendre un nuzximum ou un minimum, par les principes du calcul des variations, on fera

^.fVdx=f^{Vdxy=f{SUdx -+- VSdx) = o.

Substituant la valeur de «TU, changeant ScLv en dSx et faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences de Sœ^ Su, Sv, il ne restera sous le signe que des termes de la forme

dans lesquels

{SSx -+- rSu 4- VSv) dx.

S=rfU — rfU = o,

y^J^.rfUj^,, d^

dy dx^'df'^ dx^^ ' dj" •••' ^~dz dx^'dP'^ dx'^ 'dz"

Ces termes doivent être nuls, quelles que soient les variations Sx, S y, Sz ; or, en remettant pour Su et Sv leurs valeurs Sy — yS.t-, Sz — z^Sx, les termes dont il s'agit deviennent, à cause de S = o,

[rSf -hWSz — (T/-+- ^z') Sx] dx,

d'où Ton ne tire que les deux équations ï = o, M^ = o, la troisième, dépendante de Sxj étant contenue dans ces deux-ci.

On voit par là qu'on peut se dispenser d'attribuer aussi une variation à la variable o?, dont l'élément est supposé constant dans la fonction U, puisque les équations nécessaires à la solution du problème résultent uniquement des variations des autres variables. C'est une remarque qui a été faite dès la naissance du calcul des variations et qui est une suite nécessaire de ce calcul.