PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Cependant il peut être utile de considérer toutes les variations à la fois, par rapport aux limites de l'intégrale, parce qu'il peut résulter de chacune d'elles des conditions particulières dans les points qui répondent à ces limites, comme nous l'avons fait voir dans la dernière leçon sur le Calcul des fonctions.

22 . La fonction intégrale dont on demande le maximum ou le minimum, peut contenir aussi d'autres intégrales; mais, quelle qu'elle soit, on peut toujours la réduire à ne contenir que des variables finies avec leurs différentielles, et à dépendre d'une ou de plusieurs équations de condition entre ces mêmes variables, auxquelles on pourra toujours satisfaire par la méthode des multiplicateurs.

Supposons, par exemple, que U soit une fonction de a?, j^ z et de leurs différentielles, et qu'en même temps la variable z dépende de l'équation de condition L = o. Cette équation étant différentiée par S donnera J'L = o ; il n'y aura donc qu'à multiplier celle-ci par un coefficient indéterminé A, ou par Ae£r, pour l'homogénéité, lorsque L est une fonction finie, ajouter l'équation intégrale f?iShdx = o à l'équation du maximum ou minimum i.fVdx = o, et considérer ensuite les variations (Ta:, ^j, Sz comme indépendantes. Or on a, en regardant L comme fonction de o?, j, y', y\ etc. ,

Z^ z j z , vXC. ,

Donc, si l'on fait les mêmes substitutions que ci-dessus pour Sr\ ^z\ Sy" . etc., on aura aussi

jy", etc., on aura aussi

et les termes sous le signe provenant de T équation

/(J^.Uflb -h A^L <ic) = o seront de la forme

dans lesquek on aura

S = Aû?L,

„, VdU ^dh 1 , /dV ^dh\ . I ,, /dV , ^dh\ 1 ,

Or, L = o étant T équation de condition, on aura aussi e/L = o, ce qui donnera S = o. Ainsi, en égalant à zéro les coefficients des trois variations ^x^ Sy^ Sz, on n'aura que les deux équations ï = o, y = o, dont Tune servira à éliminer Tindéterminée A; de sorte qu'il ne restera pour la solution du problème qu'une seule équation en x, j, z, qu'il faudra combiner avec l'équation donnée L = o.