PREMIÈRE PARTIE- — LA STATIQUE. 9I

Ainsi on aurait trois équations de la même forme que celles de Tart. 26, lesquelles, par l'élimination des deux indéterminées A et ^e, se réduiraient à une seule; mais-en y joignant l'équation de condition M = o, on aurait, comme auparavant, deux équations entre les trois variables J7, y^ z.

Ces trois équations donnent, comme dans l'art. 28, l'équation

dadm -h Zdx^ = o.

Ici Ton a

2dœ = — Uc?A ■+■ ludM ;

mais l'équation M = o donne aussi dM = o ; donc on aura simplement,

comme dans l'article cité,

Zdx= — Urf/,

et de là on trouvera le même résultat

(T. Sn^^m -h a^. dm = o.

30. Donc, en général, le problème de l'équilibre d'un systkne de dm particules animées des forces P, Q, R, ^c., qui agissent suivant les directions des lignes /i, q, r, etc., et qu'on suppose telles, que l'on ait

Vdp -h Qdq -f- Rrfr -+-...= rfll,

se réduit simplement à rendre la formule intégrale SlI^f m un maximum ou un minimum, en ayant d'ailleurs égard aux conditions particulières du système ; ce qui, comme l'on voit, fait rentrer tous les problèmes de l'équilibre dans la classe des problèmes de maximis et minimis, connus sous le nom de problêmes des isopérimètres.

Dans le cas de la chaînette, en prenant les ordonnées/ verticales, on a n = gy , g" étant la force constante de la gravité. Donc il faut que la formule Sjrdm soit un maximum ou un minimum parmi toutes celles où la- valeur de

Srfm est la même ; mais ^y" est la distance du centre de gravité à l'hori-

otitn

zontale; donc, puisque la masse entière est supposée donnée, il faudra que cette distance soit la plus grande ou la plus petite : ce qu'on sait d'ailleurs.

la.

31 . Jusqu'à présent nous n'avons considéré que des fonctions de variables regardées comme indépendantes ; mais si la variablç z était censée fonction de x^y^ et que l'on eût une fonction U qui contint x^y^ z avec les différences partielles de z relatives à a? et/, on pourrait demander la variation ^U, en ayant égard aux variations simultanées Aex^y^z.

Soit, pour plus de simplicité,

dz f dz . d^z ff d*z » d*z

di~^ ' ^ ~ ^'' a? ~ ^ ' d^ ~ ^' ' ^» ~ ^'/'

d^z fff d^z » d^z t

dP~^ ' d^ ~ ^' ' a^* — ^. » • • • I

la quantité U sera fonction de x^ j, z, z', z,, z", z' , z,,, etc. , et l'on aura

dz* ^- dz, ^^^ dp a?

et la difficulté se réduira à trouver les valeurs des variations ^z', ^z,, ^z, etc. , en faisant varier à la fois les éléments dx^ dy^ dans les différences partielles. Nous pouvons supposer, pour rendre le calcul plus simple, que la variation Sx est une fonction de x indépendante de/, et la variation Sy une fonction de y indépendante de x. Nous verrons par la suite que cette suppofition a toute la généralité que l'on peut désirer.