PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

l'équation précédente devient

(^ dm -h 3dx — Xdy — Wdz\ ^x

f^ dm + ï^^ cTj -h (^ rfm + Ydir^z = o,

laquelle donne ces trois-ci :

-T- dm -h Sdx — Xdy — Wdz = o,

-g- c?in H- ïéic = o, -7-rfm + ydir = o.

Ainsi on a ici autant d'équations que de variables, ce qui parait mettre une différence entre les problèmes de ce genre relatifs à la Mécanique, et les problèmes de maxirrds et minimis.

27. Mais j'observe d'abord qu'à cause de l'indéterminée A, les trois équations se réduisent à deux, par l'élimination de cette indéterminée; et quoiqu'en général les équations de condition remplacent toujours celles qui disparaissent par l'élimination des indéterminées, la condition introduite ici ^dm = o, c'est-à-dire dm. constant, ne peut pas fournir une équation particulière pour la solution du problème, parce que, suivant l'esprit du calcul différentiel, il est toujours permis de prendre un élément quelconque pour constant, puisqu'il n'y a, à proprement parler, que les rapports des différentielles entre elles, et non les différentielles elles-mêmes, qui entrent dans le calcul. Ainsi les trois équations seront réduites à deux, et ne serviront qu'à déterminer la nature de la courbe, comme dans les problèmes de maximis et minimis.

28. J'observe ensuite qu'on peut aussi rappeler les problèmes de Statique dont il s'agit ici,' à de simples problèmes de maximis et minimis.

Car, si l'on ajoute ensemble les trois équations trouvées ci-dessus, après avoir multiplié la première par dx, la deuxième par dy et la troisième par dz, on aura, à cause de

l'équation

dndm -h Zdx^ = o ;

Méc, anal. I. 12

QO MECANIQUE ANALTriQUK.

mais on a

Zdx = ArfU — rf. AU = — ^ Ufl?A, '

et comme rfm = XJdx, on aura, en divisant par rfm, rfll — rfA = o; d'où

l'on tire A = n -h a, a étant une constante arbitraire.

Ainsi, à cause de Sh = J'c^m, Je terme A^L, dans l'équation de l'art. 25,

deviendra IleT^m + a^^m, et puisque Sndm'+-îlSdm=:^.ndm^ cette

équation deviendra

S^.n^^m H- aSS^dm = o, c'est-à-dire

S.Sudm H- aJ'^Sfi^m = o;

c'est l'équation nécessaire pour qne la formule intégrale Slle/m devienne un maximum ou un minimum parmi toutes celles où la formule S dm aura une même valeur.

De cette manière on pourra, comme dans les questions de maxùnis et minimis, regarder une des variables comme constante, relativement aux variations par ^, ce qui simplifie l'analyse ; mais la méthode générale a l'avantage de donner la valeur du coefficient A, qui, par la théorie exposée dans la section précédente, exprimera {*) la force avec laquelle l'élément dm résiste à l'action des forces P, Q, R, etc., qui agissent sur le système.

29. Nous avons supposé, pour plus de simplicité, qu*il n'y avait point d'autre équation de condition; mais s'il y avait de plus l'équation M = o, M étant une fonction de o:, j, z, j', y\ etc. , z\ z^\ etc. , il faudrait ajouter au terme aJ'L sous le signe, dans l'équation de l'équilibre, le terme a^^M, ou plutôt, pour l'homogénéité, le terme ^SMdx^ ce qui donnerait à ajouter aux valeurs de E, T, V de l'art. 25 les quantités respectives

dM I , rfM I ,, dM

du i . dM I ,j JM

^lU~di'^'^dP^dF^'^ '^d^^- ""

(*) f^oyez, à ce sujet, le paragraphe 6, sect. IV, et la note relative au paragraphe 9, sect. U

(/. Bertrand.)