Donc si l'on &it, pour abréger

t'-p'c-py^iu.

et qu'on observe que

dz, dz' dz^dz^ d^z' dz^ d^z, dt"

dx dy dy dx dx^ dx dx* dy

d*z' dz[ d^ dz[^ £V dz„

dxdy dx dxdy dy dy* dx

on aura plus simplement

. „ d*du , dz" . , dz" .

• dxdy dx tfy "^ ^

^ d*du dz„t^ dz„^

Faisant ces substitutions dans l'expression de ^U, mettant à la place de ^z, et ordonnant les termes par rapport kSx,fy,Su, on aura

PiT /^''U dV dz dV dz' dl3 dz dV dzl^ dV dzl \ «

^^ ~\d7~^ir 3^~^dE^ '3^'^dr,dx '^dP dx '^ dz[ dx^-)^

,{d\] dV dz dV dz' dV dz dU dz" dV dz', \ ^

rfUr, dV dâu dV dâu dV d*du . d\} d*du

'^ dz ^'^'^ dz' dx ~^1F, 4r <'«" d^ d'', dxdy -•"••••

Désignons par ( t— j > ( -t- J les différences partielles de U , relatives à x

et y, en regardant z comme fonction de ces deux variables, il est clair

qu'on aura

/rfU\rfU rfU^ rfU rfz' rfU ^ \dx ) <ir dz dx dz' dx dz , dx

rfu\ rfu £ru^ ^^ -dtu^

rfy / û[y dz dj dz' dy dz, dy

Ainsi la variation complète de U se réduira à cette forme simple :

d\} dàu dV diu d\} d*du

dz' dx ^ dz, ify dz" dx* dV d*3u dU d*du

dz\ dydy dz„ dy*