PREMIERE PARtiE. — LA STATIQUE

34. Donc, si Ton a une fonction intégrale double SSU dxdy à rendre un maximum ou un minimum, on aura l'équation

S". SSV dxdy = SS^.V dxcfy = o.

Or, en faisant tout varier, on a S .V dxcfy = SU dxcty -^VS.dœdjr^ où il faut remarquer que dxdy représentant un rectangle qui est l'élément du plan des X, y-j ce rectangle demeurera rectangle après les variations (Ta?, Sy des coordonnées x^y^ dans la supposition adoptée que S^x ne dépende point de j, ni Sydex; de sorte que la variation de eir^^ sera simplement c^eTctr -4- dxSdy\ donc, comme

^dx = d^x = ^dx, Sdy = Uy=^dy,

puisque Sx et Jj sont censées fonctions de x seul et de y seul , on aura

S.lidxdy=:hv^V^^Xi^^dxdy.

Substituant la valeur de (TU, et faisant disparaître, par des intégrations partielles, les différentielles des variations Sx^ Sy, Su^ il restera sous le double SS les termes

(E^x -H -xiy + V Su) dxdy,

dans lesquels

(dli\ (d\}\

^ ~ dz \dx ) \dy)^\dx*)

\dxdy) -^ \ dy*)

en disant, pour abréger,

,,/ rfU f, dU jrrr d\]

,y du -, dM

96 lU^GANIQUE ANALYTIQUE.

et supposant que les différentielles partielles renfermées entre deux crochets représentent les valeurs complètes de ces différences, en y regardant z comme fonction de.r,^.

35. Ainsi, à cause de huz=^z — ^^«^ — X^/» ^^ termes sous le double signe donneront simplement Téquation

d'où, en égalant séparément à zéro les coefficients de ^z^ ^x, Sj, on n*aura que l'équation ^^=0^ comme si l'on n'avait Êiit varier que la seule variable z.

On voit donc que, dans les questions de maximis et minimis relatives à des intégrales doubles, dans lesquelles une des trois variables est fonction des deux autres, il n'y a rigoureusement qu'une seule équation qu'on peut trouver directement, en ne faisant varier par ^ que la seule variable qui est censée fonction des deux autres (*) ; et cette équation est celle de la surface qui satisfait à la question. C'est ainsi qu'on a trouvé l'équation aux différences

partielles de la moindre surÊice, en faisant U = y/[i -h (z')'-h (^,)^] ; et ce que nous venons de démontrer prouve que cette équation remplit complètement les conditions du problème, quelques variations qu'on attribue aux trois coordonnées de la surface.

36. On peut appliquer les formules des variations que nous venons de trouver, à l'équation d'uii système superficiel de particules dm. tirées par des forces quelconques.

En n'ayant égard qu'à la condition de l'invariabilité de dm^ on aura d'abord, comme dans l'art. 25, l'équation générale de l'équilibre

SS {Sndm -H ?iSdm) = o.

(*) Il est évident à priori qu*il suffit de faire varier s; car, quelles que soient deux surfaces infiniment voisines, on peut toujours passer de Tune à Tautre en donnant à s un accroissement qui dépende d*une manière convenable des deux autres coordonnées x et j. Il pourra être plus ou moins commode de considérer celles-ci comme ayant ou n*ayant pas la même valeur aux points correspondants, mais il est évidemment permis de faire l'une ou l'autre hypothèse. (/. Bertrand, )