am-f

m étant la solidité du sphéroïde qui est exprimée par ^ ABC .

Ainsi, pour avoir tout de suite la série ordonnée suivant les puissances de r et z, on fera

et on développera d'abord le radical (r* — a fry — 2 cz -h ^* -+- c* ) ', suivant les puissances àe y, z; en ne retenant que les puissances paires, on aura

3 hY

Vr' + 6'-l-c' - (r*+b* + c*)' ° (r«-(-A«-Hc»)'

On développera ensuite les radicaux (r*-t- 6^ -h c*) \ etc., suivant les puissances de 6', c% et Ton transformera ces puissances en puissances de B^ — A% C* — A* par la formule donnée ci-dessus. De cette manière, si Ton fait, pour plus de simplicité,

e et i étant les excentricités des deux ellipses formées par les sections qui passent par les demi-axes A, B et A, G, on aura pour 2 une expression en série de cette forme :

— m(R-+-T7^4- Vz^-+-Xj^-f-Y^^z'-+-Zz*-t- ...),

io8

MÉC

AMQUE ANALYTIQUE.

dans

laquelle

a.Sr

On n'a poussé rapproximation que jusqu'aux quatrièmes dimensions de e et de i; mais il est facile de la porter aussi loin qu'on voudra.

Si le sphéroïde était composé de couches elliptiques de différentes densités, alors en faisant varier dans l'expression de 1 les quantités A, 6, C, et par conséquent aussi e et iy on aurait Srdl pour la valeur de 2 relative à ce sphéroïde.

Ayant ainsi la valeur de 1 en fonction des coordonnées rectangles x, y^ z

du point attiré, on aura immédiatement, par la différentiation , les forces ^z '

^ j T- suivant ces coordonnées, dues à l'attraction totale du sphéroïde.

Et si au lieu des coordonnées a?, j et z, on prend le rayon r avec deux angles Ae et y, tels que l'on ait

.r=:rcoSyU, . j = rsin^sinv, z = rsin^cosy,

on aura l'attraction du sphéroïde décomposée, dans le sens du rayon r qui joint le point attiré et le centre du sphéroïde, perpendiculairement à ce rayon dans le plan qui passe par le demi-axe A, et perpendiculairement au même rayon dans un plan parallèle à celui qui passe par les demi-axes B et C, par les trois différentielles partielles

df* rdfjL rsiniidv

Ces formules sont surtout utiles dans la théorie de la figure de la terre.