PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. 1 liC

Y, Z, dirigées suivant les coordonnées rectangles a:, /, z de ce point. Ainsi, en nommant dm l'élément du fil, lequel est proportionnel à l'élément ds de la courbe, multiplié par l'épaisseur du fil, on aura, pour la somme des moments de toutes ces forces, relativement à la longueur totale du fil, cette formule intégrale (art. 12, sect. IV)

S(X8a?-hYgj + ZSz)rfm;

et comme la quantité Xdx + Ydy -h Zdz n'est qu'une transformée de Pdp -h Qdq -h Rdr -h . . . (art. 1), si les forces P, Q, R, etc., sont telles que cette quantité soit intégrable, en nommant n son intégrale, on aura, comme dans l'art. 25, sect. IV,

XSa?H-YS/-+.ZSz = Sn, et la somme des moments sera exprimée par SSn^m.

§ I. — De l'équilibre d'un fil flexible et inextensible.

29. Considérons d'abord le cas d'un fil parfaitement flexible et inextensible; l'élément ds de la courbe de ce fil étant exprimé par

il faudra, par la condition de l'inextensibilité, que ds soit une quantité invariable, et qu'ainsi l'on ait, par rapport à chaque élément du fil, cette équation de condition indéfinie 8^ = o. Multipliant donc ^ds par une quantité indéterminée A, et prenant l'intégrale totale, on aura S?i8ds; et si Ton n'a point d'autre équation de condition, on aura l'équation générale de l'équilibre, en égalant à zéro la somme des deux intégrales SSn^m et S?^8ds, Or ayant ds = y/éte* + dy^ -+• dz^ , on aura, en différentiant suivant (S,

^1 dxôdx -i- dyâdy -hdzddz

ds '

donc

S ASciy = S ?^ S^it' H- S ^ Srfj -h S ^ odz ;

changeant 8d en d^^ et intégrant par parties pour faire disparaître le d

Mec, anal, I. ij

]3o MECANIQUE ANALYTIQUE.

avant B, suivant les règles données dans l'art. 15, sect. IV, on aura ces transformées,

SA az ^ » A az ^ ff A dz 5» / c ^ ^'^ 5*

Ainsi réquation générale de l'équilibre deviendra

Siïx^im — d.^\ 8x -+- (Ydm — d.^\ 8/-1- (Zdm — d}^j\ Szl

30. On égalera d'abord à zéro (art. 16, section citée) les coefBcients de Ix^ S/, Sz sous le signe S, et Ton aura ces trois équations particulières et indéfinies,

"V" -f J ArtJC

Aam — a. -j- = o,

Yrfm — d.—^=^Oj

^am — a.—T- =o,

d'où éliminant T indéterminée A, il restera deux équations qui serviront à déterminer la courbe du fil.

Cette élimination est très*facile, car on n'a qu'à intégrer les équations précédentes, ce qui donnera celles-ci :

-^ = A-h/Xrfm, ^ = BH-/Yrfm, ^ = C -h/Z^m,.