PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. ï3l

A, B, G étant les constantes arbitraires; ensuite on aura, en chassant A,

dx A-h/Xrfm

dz^ C-h/Zrfm dx A-j-fXdui

équations qui s'accordent avec les formules connues de la chaînette.

Si Ton veut parvenir directement à des équations purement différentielles et sans signe J, on mettra les équations trouvées sous cette forme ,

\dm — ^^'5 ^^ 3r ^^^ ^'

Y dm — ^^-^ — c?A ^ = o,

Zàdm — ^^-'2 ^^3" ^^ ^'

d'où éliminant dK^on aura d'abord ces deux-ci :

ILdf — \dx j ^ ( dy j dx dx j dy\

— ^L— am = M'j'd.'j -r»-^)'

as \ds as ds ds )

Xdz — Zdx 1 ^ [ dz J dx dx j dz\

J am = Ai -r-^-j j-^«"j~ )•

ds \ds ds ds ds J

Ensuite si l'on multiplie les mêmes équations respectivement par ^ ' ^^ ^' ou aura, à cause de

dx J dx dr 1 dr dz J dz i , / dbc* -f- ^r* 4- rf«* \

l'équation

Xdx -h Ydy -h Zdz , ,^

^ dm = aA;

et il n'y aura plus qu'à substituer successivement dans cette dernière équation les valeurs de A tirées des deux précédentes.

51. Comme la quantité ASdj peut représenter le moment d'une force A tendante à diminuer la longueur de l'élément ds (sect. IV, art. 6), le terme SAScty de l'équation générale de l'équilibre du fil (art. 29) représentera la somme des moments de toutes ces forces A qu'on peut supposer agir sur tous les éléments du fil ; en effet, chaque élément résiste, par son inextensi-

l32 MECANIQUE ANALYTIQUE.

bilité, à l'action des forces extérieures, et Ton regarde communément cette résistance comme une force active qu'on nomme tension. Ainsi la quantité A exprimera la tension du fil.

52. A l'égard de la condition de Tinextensibilité du fil, représentée par l'invariabilité de chaque élément de la courbe ds^ on ne peut pas l'introduire dans l'équation de la courbe, en rempiacement de l'indéterminée A, comme dans le cas où le fil forme un polygone, parce que, par la nature du calcul différentiel, la valeur absolue des éléments de la courbe, et, en général, de tous les éléments infiniment petits, demeure indéterminée. Mais aussi, par la même raison, il n'est pas nécessaire qu'il y ait autant d'équations que de variables, et il suffit d'une équation de moins pour déterminer une ligne, soit à simple ou à double courbure. Ainsi la solution que nous venons de trouver par notre méthode est complète à l'égard des équations différentielles, et ne demande plus que des intégrations qui dépendent des expressions des forces X, Y, Z.

33. Considérons maintenant les termes de l'équation générale de l'art. 29, qui sont hors du signe S; et supposons, premièrement, que le fil soit entièrement libre. Dans ce cas, les variations Sa?', Sj', 8z' et Sa;'', Sj", 8z", qui répondent aux deux points extrêmes du fil, seront toutes indéterminées et arbitraires; par conséquent, il faudra que chaque terme affecté de ces variations soit nul de lui-même. Donc il faudra que l'on ait a'= o et a"= o, c'est-à-dire que la valeur de A devra être nulle au commencement et à la fin du fil. On remplira cette condition par le moyen des constantes. Ainsi, comme les trois premières équations intégrales de l'art. 50 donnent, pour le premier point du fil oii les quantités affectées de / deviennent alors

et pour le dernier point du fil où / se change en S,

-jpr = A -h SX^m, -^^- = B -+- SYrfm, -^^ = C H- SZrfm,

on aura, dans le cas dont il s'agit,