PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. l'ij
deviendrait
l Xdm — d. -n lupj^x-^- (y dm — d. -£ — iuLq\ Sj
( Tjdrti — d. -^ — h /te ) S-
et Ton aurait immédiatement ces trois équations indéfinies,
Aam — a. -^ fjup = o,
Xdm — d. -£ — fxq = o, Tjdxsa — d. --t — h /i* = o,
lesquelles, par l'élimination de fx^ redonneront les mêmes équations déjà trouvées (art. 38). Mais ces dernières ont de plus l'avantage de faire connaître en même temps la pression que chaque élément du fil e&erce sur la surface, d'après la théorie donnée dans l'art. 5 de la sect. IV.
En effet, il est facile de déduire de cette théorie que les termes
' fjL{lz—plx — qly),
provenant de l'équation de condition
Sz — p%x — q%y = o,
peuvent représenter l'effet d'une force égale à fi. \J {\ -^ p'^ -\-' q^), et appliquée à chaque élément ds du fil dans une direction perpendiculaire à la surface qui a pour équation
8z — p^x — grSj = O, ou bien dz — pdx — qdjr = o,
c'est-à-dire à la surface même sur laquelle le fil est supposé couché. Cette surface, par sa résistance, produit la force a^ y/i -h /?*-+- y% laquelle sera, par conséquent, égale et directement contraire à la pression exercée par le fil sur la même surface (art. 7, sect. IV). De sorte que la pression de chaque
point du fil sera égale à ^ ^"^^ "^^ ^ ou bien, en substituant les valeurs
Méc,,anal, L 18
l38 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
àe fx^ jubp^ fjt^q tirées des équations ci-dessus,
Xdm-d}-^y^{Ydm-d.'^-^y+(Zdm-d.'^^y
ds
On appliquera ensuite les mêmes raisonnements à la partie de Téquation générale qui est hors du signe S, et Ton en tirera des conclusions analogues.
41 . Si le fil couché sur la surface donnée n'était tendu que par des forces appliquées à ses extrémités, on aurait X = o, Y = o, Z = o, et, par conséquent, rfA = o (art. 30) ; donc A est égal à une constante : ainsi la tension^ du fil serait partout la même (art. 51), ce qui s'accorde avec ce qu'on sait d'ailleurs. Dans ce cas, la formule générale de l'équilibre du fil se réduirait à
AS8ds H- S^(8z — p8x — q8y) = o,
dont le premier terme est la même chose que AS.Sûty ou a8^. Ainsi cette équation exprime que la longueur de la courbe formée par le fil sur la surface représentée par l'équation dz — pdx — qdy = o doit être un maximum ou un minimum; et la pression exercée par le fil sur chaque point de cette surface sera alors
v^M^MïH'-'^y,
ds
Or on sait que y (^•^) H- [^''£j "^ (^•57) ^^P^™^ Tangle de contingence de la courbe, lequel est égal à —, en nommant p le rayon osculateur. Ainsi la pression sera = - , et, par conséquent, en raison inverse du
rayon osculateur.
§ II. — De l* équilibre d'un fil, ou d'une surface flexible et en même temps
extensible et contractible .
42. Jusqu'ici nous avons supposé que le fil était inextensible ; regardons-le maintenant comme un ressort capable d'extension et de contraction, et soit F la force avec laquelle chaque élément ds de la courbe du fil tend à se con-
