PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

Ces trois équations étant ensuite combinées avec les trois équations de condition ci-dessus, serviront à déterminer la position des deux extrémités du fil.

On voit par là comment il faudra s'y prendre dans d'autres cas semblables.

37. Enfin, si, outre les forces qui animent chaque point du fil, il y en avait de particulières appliquées aux deux extrémités du fil, et représentées par X', Y', Z' pour le premier bout du fîl, et par X", Y'^', Z'' pour le dernier bout, ces forces donneraient les moments

X'8a;'4- Y'S/h- Z'Sz'-4- X'ix"^ Y'^8j+ 7Iiz\

et il faudrait ajouter encore cette quantité au premier membre de Téquation générale de l'équilibre, c'est-à-dire à la partie qui est hors du signe, laquelle deviendrait alors

(x-^ ^) sx«+ (Y'+ ^•) zr'^ [r^ *^) s='.

et sur laquelle on opérerait, dans les différents cas, comme on vient de le voir dans les articles précédents.

38. Supposons maintenant que le fil, animé dans tous ses points par les mêmes forces X, Y, Z, et tiré de plus, dans ses deux extrémités, par les forces X', Y', Z', X'', Y", Z'', doive être couché sur une surface courbe donnée, dont l'équation soit dz =pdx -+- qdy^ et que l'on demande la figure et la position de ce fil sur la même surface pour qu'il soit en équilibre.

Ce problème, qui serait peut-être difficile (*) à traiter par les principes ordinaires de la Mécanique, se résout très-facilement par notre méthode et par nos formules; en effet, par Téquation de la surface donnée, on a, en changeant i/ en S, Sz =/?8a? -+- ^8j; ainsi il n'y aura qu'à substituer cette valeur de 8z dans les termes sous le signe de l'équation générale de l'équilibre du

(*) On ne comprend pas comment Lagrange a pu considérer ce problème comme difficile à traiter directement. Les équations auxquelles il parvient expriment simplement que les deux tensions aux extrémités d'un élément , étant combinées avec les forces qui sollicitent cet élément, donnent une résultante normale à la surface. Cette condition est évidente à priori. (/. Bertrand,)

l36 MECANIQUE ANALYTIQUE.

fil (art. 29) , et ensuite égaler séparément à zéro les quantités affectées de Sx et de ô j. On aura par ce moyen ces deux équations indéfinies,

Xrfm — d. —i — ^ P \ Zc?m — d. —r-) = ^i

Y dm — d. — T^-H q ( Zrfm — d. —r-\ = o,

lesquelles serviront à déterminer la courbe du fil, étant combinées a\ec réquation dz =^ pdx -h qdy de la surface, et étant débarrassées, par l'élimination, de l'indéterminée A.

39. De plus, comme on suppose le fil appliqué dans toute sa longueur à la même surface, on aura aussi, pour ses deux points extrêmes,

tz'=p'lx'^q'iy et Zz'=^p'^x\+q'^y\

On fera donc encore ces substitutions dans les termes hors du signe de réquation générale, ou plutôt dans la formule donnée dans l'art. 37, dans laquelle on a eu égard aux forces X', Y', etc. ; on égalera ensuite séparément à zéro les quantités affectées de chacune des quatre variations restantes ox', Sj', 8x'^, oj'' ; on aura ces quatre nouvelles équations déterminées,

r-^^-^ a' il! - ^"^^ - o

-„ X'V/y" „ (r,„ Vdz" ,

auxquelles il faudra satisfaire par le moyen des constantes.

40. Mais au lieu de substituer, ainsi que nous venons de le faille, la valeur de Iz en Ix et ly tirée de l'équation Iz — plx — qly = o^ on pourrait regarder cette même équation comme une nouvelle équation de condition indéterminée ; il faudrait alors multiplier cette équation par un autre coefficient indéterminé ^, en prendre l'intégrale totale, et l'ajouter à l'équation générale de l'équilibre (art. 29). De cette manière la partie sous le signe