PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. X^î
paraître par des intégrations par parties les différences partielles des variations marquées par S, on aura
OU
^.Sl' d.^^-
V = — 1 -3— , et Sw = Sz — z'Bx — z,Sj (art. cités).
Les intégrales simples relatives à j? et à j se rapportent aux limites et disparaissent d'elles-mêmes, dans le cas où l'on suppose que les bords de la surface sont fixes, parce qu'alors les variations S«r, S/, Sz sont nulles dans tous les points du contour de la surface.
Les termes sous le double signe SS étant ajoutés à ceux de l'intégrale double SS(X8a; -h YSj -h Z^z)Udxdx, on égalera séparément à zéro les coefficients des variations Bx^ S/, Sz, et l'on aura les trois équations
VTT FdV rf.UF ,r ,
XU + -^--^4-Vz=o,
VTT . FdV rf.UF ,r
YU + -^^ ^ + Vz,= o,
ZU — V = o.
liCs deux premières donneront la valeur de la force F qu'il faudra substituer dans l'expression de V de la troisième, de sorte qu'on n'aura, en dernière analyse, qu'une seule équation à différences partielles pour déterminer la sur&ce d'équilibre.
En effet, quoique la force F doive être supposée une fonction connue de l'élément ^m de la surface dans son état de contraction ou d'extension, elle n'en demeure pas moins indéterminée, parce que la grandeur absolue des éléments de la surface ne peut entrer dans le calcul ; de sorte que la valeur de F ne peut être déterminée que par les conditions mêmes de l'équilibre ; c'est ici un cas semblable à celui de l'art. 43.
45, Pour éliminer la quantité F, on substituera dans les deux premières
1^2 MJÊCANIQUE ANALYTIQUE.
équations la valeur de V tirée de la dernière ; elles deviendront
u(x + zg)
FdU d.UF
dx dx '
ufx-hZ^^ ^^^ ^'^^
y^ ' '"djrj dy dj '
Soit, comme dans l'art. 28,
Xdx 4- Ydy H- Zdz = rfH;
on aura, puisque z est censée fonction de x, ^,
dx dx dy dy
et les deux équations deviendront, en divisant par U,
^n ^ rfn ^
dx dx dy dy
lesquelles donnent simplement celle-ci,
rfn = rfF, d'où F = n H- a,
résultat conforme à celui de Tart. 56, sect. IV. Ensuite la troisième équation donnera, en regardant n comme fonction de a?, j, z,
dz dx dy '
ce sera Téquation de la surfece.
Si la surÊice différait très-peu d'un plan, en sorte que l'ordonnée z fut
très-petite; alors, en négligeant les quantités très-petites du second ordre,
on aurait
U = 1 ; or F = n 4- a,
a étant une constante, et l'équation de la surface serait
dxi ^•(n+^)è ^(n^-^)^
dz dx dy
En supposant qu'il n'y ait d'autres forces que la gravité g qui agisse suivant l'ordonnée z pour l'augmenter, on aura n = — gz\ par conséquent, en
