PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. l
négligeant toujours les secondes dimensions de z,
équation intégrable en général, mais avec des fonctions imaginaires qui rendent cette solution peu susceptible d*application.
§ III. — De V équilibre d'un fil ou lame élastique,
46. Reprenons le cas d'un fil inextensible ; mais au lieu de le supposer en même temps parËtitement flexible, comme on l'a fait jusqu'ici, supposons-le élastique, en sorte qu'il y ait dans chaque point une force que j'appellerai E, qui s'oppose à l'inflexion du fil, et qui tende, par conséquent, à diminuer l'angle de contingence (^). Nommant cet angle 6, on aura, comme dans l'art. 26 (en changeant seulement d en S), ESe pour le moment de chaque force E; donc SESe sera la somme des moments de toutes les forces d'élasticité qui agissent dans toute la longueur du fil, laquelle devra donc être ajoutée au premier membre de l'équation générale de l'équilibre dans le cas d'un fil inextensible et parfaitement flexible (art. 29).
Toute la difficulté consiste à ramener l'intégrale SESe à la forme convenable; pour cela, il faut commencer par chercher la valeur de e; or nous avons trouvé plus haut (art. 26)
— COSC = ^' 2^ >
d'oii l'on tire
sin e - ^^,^.
Pour appliquer cette formule au cas présent, il suffit de remarquer que les coordonnées x', y\ z\ x" ^ y'\ z" ^ x'"^ y^ ^ z'"^ par lesquelles nous avons
exprimé les quantités /i g^ h (art. 12 et 20), deviennent ici x, j, z; x + cte,
(*) L'expression adoptée par Lagraoge pour l'évaluation de la somme des moments des forces d'élasticité n*est pas admissible pour les courbes à double courbure. M. Binet en a fait la remarque dans le tome X du Journal de l'École Polytechnique, Voyez aussi un Mémoire de Poisson qui fait partie du tome \SL de la Correspondance sur l'École Polytechnique, Ces géomètres remarquent, avec raison, qu'il doit entrer, dans l'expression de la somme des moments, un terme proportionnel à la variation de l^anglc de deux plans osculateurs consécutifs. [Voyez une Note à la fin du volume.]
(/. Bertrand,)
1 44 HéCANIQUE ANALYTIQUE.
y-^-dy, z-\-dz; x -\- ^dx -\- (Px, y -\- 2 dy -\- d" y , z -^ % dz -\- d* z', en sorte qu'on aura
/»= dx^-\- dy*-\-dz^= ds\ g'= [dx -h d'xy -h {dy 4- d^yY 4- {dz + (fzy
= <ia;*H- rfr*H- c^z*H- a (ctrrf'a:-f- rfy-rf'j + <izrf»z) H- rf* jr»H- rf»7*-h <f 2'
=^ds*-\-idsd:'s-^d^x^^d^y*-\-d:'z\
h^=i{2dx + d^xy -\- {idy + d^yf -\- {2dz-\- d'^zY = 4<iy» H- 4rffrf* j H- rf'a;' H- rf»7* H- </*z*;
donc
et
f^ -\- g* — A' = — 2 rfj' — 2 dsd'^s.
^/ids^ {d'x' 4- <r' + d'z^ — d^s^).
Donc enfin on aura, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,
sm'e= i^-,
Comme cette valeur de sin^c est infiniment petite du deuxième ordre, il s'ensuit que sine, et, par conséquent aussi l'angle e, sera infiniment petit du premier ordre ; de sorte qu'on aura
c'est l'expression de l'angle de contingence dans une courbe quelconque à double courbure et qui revient à celle de l'art. 41 .
47. On différentiera maintenant suivant 8, pour avoir la valeur de Se, et comme par la condition de l'inextensibilité du fil on a déjà ids = o (art. 29) , et, par conséquent aussi, d^ds = Sd^s = o, on pourra traiter, dans la différentiation dont il s'agit, ds et d^s comme constantes; ainsi Ton aura
rv fPxâd^x -h d^jàd^J -h d^zo d}z
~ ils^d'x^^dY'hePli'^^^^7''
