PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

et comme on a par la première équation F H- Aj — Bx =

> on aura

Br — F

— ^y^2D + aAcosç -h sBsiiKp

Ainsi tout se réduit à intégrer les valeurs de ds eX.dx\ mais ces intégrations dépendent de la rectification des sections coniques. Jusqu'à présent il ne parait pas qu'on ait été plus loin dans la solution générale du problème de la courbe élastique.

51. Considérons maintenant les termes de l'équation générale qui sont hors du signe S ; ces termes sont

VI" dx" j \Vdy« ,

rv'dz" ,

L ds' ^•

r y^dz' j -[-ds^-'^'

l"dY)\ Zf^ Yd^yd^y"

vd^y)\^y-vd'y'diy

et il faudra les faire disparaître indépendamment des valeurs de Zx'\ Sj", etc.

Donc, I**. si le fil est entièrement libre, il faudra que les coefficients des douze quantités tx\ ly\ 8z% dlx\ d^y\ d^z\ Sa?', S/, 8z', dix', dl/, dlz' soient chacun nul en particuUer.

Or, d'après les premières équations intégrales de l'art. 48, on voit qu'en faisant commencer les intégrations au premier point du fil, les coefficients de ùx\ 8j', Sz' sont égaux à A, B, C, et ceux de Sa?", Sj'', Iz" deviennent A H- SXû?m, B 4- SYrfm, C -H SZrfm. Ainsi il Ëiudra que l'on ait, dans le cas dont il s'agit,

A == o, B = o, C = o, et SXrfm = o, SYrfm = o, SZû?m = o.

Ensuite il faudra que l'on ait aussi

IVa?''=o, lV/'=o, rd'z'=o, et rrfV=o, Vdy=o, Vd'z'=o,

i5o mëganique analytique.

pour faire disparaître les termes affectés de dZx" ^ d^x'^ ®tc. ; et il est clair que les secondes équations intégrales du même article donneront

^[J^dm.dy — fYdm.dx) = o, S{fXdm.dz — JZrfm.rf.r) = o,

S {fYdm . dz — fZdm . dy) = o.

1^. Si la première extrémité du fil est fixe, alors Sa?'=o, Sj'= o, Sz'=o ; par conséquent, A, B, G ne seront pas nuls: mais la condition que les coefficients de Ix" ^ 8y\ 8z" soient nuls, donnera

A = — SXrfm, B = — SYt/m, G = — SZdm ;

et si la position de la tangente à cette extrémité était donnée aussi, on aurait de plus,

dlx'=^o^ rfSj'=o, dZz'=^o\

par conséquent, F, G, H ne seraient pas nuls, mais la nullité des coefficients de dlx'\ diy\ d^z" donnerait

F = S [(B -hfYdm)dx — (A -hfXdm)df], G = S [{C-hfZdm) dx—{A -hfXdm) dz], H = S [(G + fZdm) dy — (B -+-/ Yrfm) dz].

On raisonnera de la même manière par rapport à l'état de la seconde extrémité du fil.

3**. Enfin, si, outre les forces qui agissent sur tous les points du fil, il y en avait de particulières X', Y', Z', X", Y'^, Z^\ appliquées à Tune et à l'autre extrémité, il n'y aurait qu'à ajouter aux termes ci-dessus les suivants;

et s'il y avait de plus d'autres conditions relatives à l'état de ces extrémités, on opérerait toujours de la même façon et d'après les mêmes principes.

32. Si l'on voulait que le fil fut doublement élastique, tant à l'égard de l'extensibilité qu'à l'égard de la flexibilité, alors on aurait, dans l'équation