PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. i

Ces deux équations sont ce qu'il y a de plus simple pour déterminer la courbe élastique, en ayant égard à la double courbure.

49. On suppose communément que la force élastique qui s'oppose à l'inflexion est en raison inverse du rayon osculateur. Ainsi, en nommant p ce

K rayon, on aura E = — , K étant un coefficient constant.

Mais on sait que p = — ; donc E = ^ : ainsi la quantité I, que nous avons

supposée égale à -^ (art. 47), deviendra ^^^ et, par conséquent, constante, en supposant, ce qui est permis, ds constante. Ainsi les trois premières équations (art. 48) seront

Xrfm — d.-^-h -j^ = o,

Lam — a. -^ -r-r- = o.

as as*

Si Ton ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la première par j-j la deuxième par ^ et la troisième par ^ , on aura, à cause de

dx j dx ^y j ^y ^^ ri ^^ '^./^'^"4r*

ds ' ds ds ' ds ds ' ds a \ ds*

dz'

l'équation

Soit r l'épaisseur du fil, on aura(£in = r<^, et l'équation précédente étant intégrée, en supposant dj constant, donnera

A = /r {Xdx -h Ydy -h Zdz)

^ ( dxd*x+dyd*j + dzd*z J*j c*-t- </*j*H-rfV \ "^ \ ds" %ds' )'

Cette valeur de A exprime la tension de la lame élastique, c'est-à-dire la résistance avec laquelle elle s'oppose à la force qui tend à l'allonger, comme dans l'art. 31.

l48 MllCANIQUE ANALYTIQUE.

50. Le cas le plus simple et le plus ordinaire est celui dans lequel les forces X, Y, Z, qu'on suppose agir sur tous les points de la lame élastique, sont nulles, et que la courbure de la lame vient uniquement des forces appliquées à ses deux extrémités. Dans ce cas, les équations intégrales de l'art. 48

donnent, en mettant pour I sa valeur ^>

. -^-^,-' = F -h Aj — Ba;,

K ^^'^-/"^'^ =G + Kz-Cx, K ^y^'^-f'^ 'y = H + Bz - Cj;

mais l'intégration ultérieure de celles-ci est peut-être impossible en général (*) . Lorsque la courbure de la lame est toute dans un même plan, en prenant pour ce plan celui des x et j, et faisant dy := ds %\ii(py dx ^=^ ds cos ^, la première équation, qui est alors la seule nécessaire, devient

^ = F -h Afsinçds — Bfcos(pds^

laquelle, étant differentiée, donne

^ = A sin ç — B cos (p ;

multipliant par d(py et intégrant derechef,

-It = A cos (p H- B sin ^ H- D,

d'où l'on tire

ads

ds =

et, de là.

dx =

^aD-f- 2 A cos y -h 2Bsiny coso) d(f

Va D -h 2 A cos (jp -f- 2 13 sin y

(*) Celte intégration a été effectuée par M. Binet^ qui a même considéré les équations plus générales auxquelles on est conduit en rétablissant dans la somme des moments des forces d^élasticité, le terme proportionnel à la variation de Tangle de deux plans osculateurs consécutifs. { Comptes rendus de l' Académie des Sciences, i844> **' semestre, page 1 1 15.) rhjez «ne Note à la fin du volume.

(y. Bertrand,)