IIJ,U

e"ds

d^s"-h^dSs'-^s{^d.^-^yds.

Le dernier terme de cette expression étant analogue au terme SF S^ds^ sera susceptible de réductions semblables; à l'égard des deux autres, il n'y aura

,^ , . j^ , djcddx-\-dyddr-+'dzddz

qu a y substituer, pour a^^, sa valeur ^^--^ , en marquant

toutes les lettres d'un trait ou de deux.

De- là il est facile de conclure qu'on aura, pour la solution du cas présent, les mêmes formules que dans le cas où le fil élastique est supposé inexten-

Vêd*s Ee

sible, en y mettant seulement F -h rf. -^ — 57 ^ '^ place de A, et ajoutant

aux termes hors du signe S les deux termes ^,.,^ dSs^ irjpttd^/ ,

Comme dans l'équation de la courbe la quantité A doit être éliminée, il ^ensuit que l'équation de la lame élastique sera la même, soit qu'on la suppose extensible ou non. Mais la tension du fil qui est exprimée par A ou par F, lorsque le fil n'est pas élastique (art. 43), sera augmentée, par l'élasticité E,

de la quantité d. -^Kj^ , à cause de e = — (art. 49).

l52 MECANIQUE ANALYTIQUE.

§ IV. — De V équilibre d'un fil roide et de figure donnée.

53. Venons enfin au cas d'un fil inextensible et inflexible: on aura ici, pour la somme des moments des forces, la même formule intégrale que dans le cas de Tart. 28, c'est-à-dire S (X (Ta; -h X^y 4- Z^Tz) dm ; ensuite, la condition de rinextensibilité du fil donnera, comme dans le même article, ids = o ; et celle de l'inflexibilité donnera cTe = o, puisque Tangle de contingence doit être invariable; mais ces deux conditions ne suffisent pas encore dans le cas où la courbe est à double courbure, comme on va le voir.

Pour traiter la question de la manière la plus simple et la plus directe, je remarque que tout consiste à faire en sorte que les différents points de la courbe du fil conservent toujours entre eux les mêmes distances : or, en considérant plusieurs points successifs, dont les coordonnées soient

x, j, z, a; + ctr, j -H dj^ z -+- rfz, x -+- %dx H- d^x^

y H- idy + d^y^ z -h idz -H rf^z, etc.,

il est clair que les carrés des distances entre le premier de ces points et les suivants seront exprimés par les quantités

dx^^dy'^'^'dz^ , {7.dx^d'xY'^{idy^d:'yy+{idz-\-d'z)\ (3rir + 3rf'a;4-rf'a;)^4-(3rf/H-3c?'74-rf\r)^+{3rfz + 3rf^z-hrf'z)%etc.

Supposons, pour abréger,

dx^ H- dy'^ -H dz^ = «,

d''x''-\'d'y^-^d'z^=^, d'x^^dy^'+'d'z'^y,

les quantités précédentes étant développées, deviendront

4«-l- 2da-\- ^,

9« -h gdoc -f- 9j3 -h 3 {d^oc -

- 2^) -h 3rfp -h >