PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

Il faudra donc que les variations de ces quantités soient nulles dans toute l'étendue de la courbe, ce qui donnera ces équations indéfinies :

Sa = o, 4^a H- iSda -h cTp = o, 9<ra -h ^Sda H- 3J^|3 4- S^Trf'a + SeTrf/S + (^7 = 0,

mais Sa étant égal à o, on a aussi

ûf8a = 8rfa = o; donc Sp = o;

de là on aura, de plus,

rf'Sa=Sé/*a = o, rf8/3 = Srf/3 = o; donc 87 = 0;

et ainsi de suite. De sorte que les équations de condition pour l'inextensi-

bilité et l'inflexibilité du fil seront 8a = 0, 8^ = o, 87 = o, etc. (*), c'est-

(*) Ces équations expriment que a, ^^ 7 conservent la même valeur pendant le déplacement de la courbe. Cette condition équivaut aux trois équations suivantes :

La première est évidente; la deuxième exprime que la courbure de la ligne considérée est une fonction déterminée de Tare s\ la troisième, enfin, combinée avec les deux autres, exprime que la seconde courbure est une fonction déterminée de s. En écrivant les équations de condition sous cette forme , qui ne diffère de celle de Lagrange que par les diviseurs ds'^y ds*y ds'^y que nous avons introduits, les calculs resteraient absolument les mêmes; seulement, les multiplicateurs désignés plus loin par >, ;*, v seraient finis, tandis qu'il faut, dans la notation de Lagrange, leur supposer des valeurs infinies de différents ordres. Cette circonstance a été signalée comme un inconvénient de la méthode. En adoptant, en effet, la locution si souvent employée par Lagrange, les multiplicateurs ^9 {a, y représenteraient les forces qui tendent à faire varier les fonctions a, ^ , 7, et il doit sembler extraordinaire que ces forces soient infinies, et surtout qu'une transformation tout algébrique suffise pour leur faire prendre des valeurs finies; mais on se rend compte de cette singularité en remarquant que les coefficients ^, ^, y ne sont nommés ybrc^j que par une locution figurée , familière à Lagrange. Nous avons averti plusieurs fois qu'il ne fallait pas prendre cette locution à la lettre. ( Voyez la note relative au paragraphe 9 , sect. H. ) (/. Bertrand. )

Méc, anal. L i 20

l54 MECANIQUE ANALYTIQUE.

à-dire en différentiant et changeant 8d en dij

s dxdlx -h djdly -h dzdlz

d'xd^ Ix -H d'yd^ ly + d^td^ %z d' xd' Sa; + d^yd' ly-^-d^zd^lz

Il est clair qu^îl suffît de trois de ces équations pour déterminer les trois variations S*r, Sj, Sz; d'où Ton peut d'abord conclure que, dès qu'on aura satisfait aux trois premières, toutes les autres, qu'on pourrait.trouver à l'infini, auront lieu d'elles-mêmes: c'est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul même, comme on le verra plus bas (art. 60).

54. On aura donc par notre méthode cette équation générale de Téqui^ libre ,

o = S(X8a: + YSj -h ZZz)dm 4- ^X{dxdZx + dydly 4- dzdlz) SfjL{d^xd^^x + dyd^8y -h d^zd'Bz) Sv{d'xd'$x-i-dyd*iy-hd^zdnz),

laquelle, par les transformations enseignées, se réduira à la forme suivante :

S[Ydm — d.

S^Zidm — d.

}l' djé' — d.

fx d^x — d,

}i'df -d.

fjé'd*y"—d.

X dz — d.

yldx' —d.

^dy' — d.

fjJd^y'. -^ d.

hdz — d.

{Kdx) H- d^. {/utd'x) — d*. {vd*x)] Sa:

i^dy) -h d\ (j^d'y) - d\ {fd»y)] By {Xdz) 4- <i*. {f*d*z) — d*.{id*z)]lz {^"d^x") -h d\ {/d*x")] Ix" {v"d*x")dBx"-i-v"d*x"]dnx" {f*"dY) -+- d\ iv''dY)] Sj" {v''dY)dBy"+v"dY]d*By" {lu:'d*z'')-hd\{v''d*z'')\Bz'' {v"d'z")dBz"-h v"d'z"]d'8z" {lu'd'x')-hd\{v'd*x')]Bx' {v'd^x')dBx'—v'd'x']d'èx'

(At'rfy)-hrf*.(/rfy)js/

{v'dy)dBy'— f'dy]d*By'

{lLt'd'z')-+-d\{v'd*z')]Bz'

{v'd*z')dBz'—f'd*z']dnz'.