CHAPITRE IV

DE l'équilibre D^UN COEPS SOLIDE DE GRANDEUE SEIÏSIBLE ET DE FIGURE QUELCONQUE, DOWT TOUS LES POIHTS SONT TIRÉS PAR DES FORCES QUELCONQUES.

60. Puisque la condition de la solidité du corps consiste en ce que tous ses points conservent constamment entre eux la même position et les mêmes distances, on aura entre les variations Sa?, Sj, Bz les mêmes équations de condition qu'on a trouvées dans l'art. 53; car il est visible qu'en imaginant dans l'intérieur du corps une courbe quelconque, il suffira que tous ses points gardent les mêmes distances entre eux, quelque mouvement que le corps reçoive; ainsi on pourra, par leur moyen, déterminer immédiatement les valeurs de ces variations.

Pour cela, je remarque que comme en passant aux différences secondes il est toujours permis de prendre une des différences premières pour constante, on peut supposer dx constante, et, par conséquent, (Px^=6, rf',r=o,etc., moyennant quoi la deuxième et la troisième équation de l'article cité deviendront

d'yd^ly 4- d^zd^lz = o, et rf'jrf'Sr + d?zd^lz = o.

La première de ces équations donne d'abord d^ly ^= — -^ d^lz^ et différentiant,

cette valeur étant substituée dans la seconde équation, elle se trouvera toute divisible par d^z ^r— ' ^t ï'on aura après la division, ^

d'où l'on tire, en intégrant,

d'Sz = Shd*x,

Mec, anal. I. ^i

SL étant une constante. Ayant d^Sz, on trouvera d^Sy = — SLd^z; donc intégrant de nouveau et ajoutant les constantes — S^ldxj SNdx, on aura

dSz = ^Ldy — mdx, d^y = — 8l.dz -h iTNdlr;

et ces valeurs étant substituées dans la première équation de condition, savoir

dxdSx -h dydSf H- dzdSz = o, il viendra

d^x = — SNdy + mdz.

Enfin on aura par une troisième intégration, et par Taddition des nouvelles constantes Sly Sm, Srij

jy = (T/w -f- xS^ — z<rL,

^z = ^n — xSM, '+-jrSL.

Et il est facile de se convaincre que ces expressions ne satisfont pas seulement aux trois premières équations de condition de Fart. S3, mais aussi à toutes les autres qu'on pourrait trouver à l'infini, et qui sont toutes renfermées dans cette équation générale

d^xd^^x -t- dyd"Sj -h d^zd^^z = o.

Telles sont donc les valeurs de Sx^ Jy, «Tz pour un système quelconque de points unis ensemble, de manière qu'ils conservent toujours entre eux les mêmes distances ; ainsi ces valeurs serviront non-seulement pour le cas d'une courbe quelconque mobile et invariable dans sa figure, mais aussi pour le cas d'un corps solide de figure quelconque.

Euler a trouvé le premier ces formules simples et élégantes pour exprimer les variations des coordonnées de tous les points d'un corps solide mobile dans l'espace. Il y est parvenu par des considérations tirées du Calcul différentiel, mais difierentes de celles qui nous y ont conduit, et, ce me semble, moins rigoureuses (*). Ployez dans le volume de l'Académie de Berlin, pour I 760, le Mémoire intitulé: Découverte d*un nouveau principe de Mécanique.

(* ) La démonstration d^Euler est, il est vrai , moins directe que celle de Lagrange; mais il m'a été impossible de découvrir le point de vue sous lequel on peut Faccuser de manquer de rigueur.