PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. ï

61. Puis donc que les valeurs précédentes de ^x,^y, h satisfont déjà aux équations de condition du problème, il est clair qu'il suffira de les substituer dans la formule S{XSx -h Yfy h- ZSz)dm, et foire en sorte qu^elle devienne nulle, indépendamment des quantités ^l, Sm, ^n, SL, SM, eTN, qui sont les seules indéterminées qui restent.

Or, comme ces quantités sont les mêmes pour tous les points du corps, il faudra dans la substitution les faire sortir hors du signe S ; et l'on aura conséquemment cette équation générale de l'équilibre d'un corps solide de figure quelconque,

^ISXdm -h ^mSYdm -+- USZdm + (^NS(Ya: — Xx)dm -+- mS{Xz — Zx)dm H-(rLS(Zj —Yz)dm = o,

d'oii Ton tirera les équations particulières de l'équilibre, en ayant égard aux différentes circonstances du problème.

62. Et d'abord, si le corps est supposé entièrement libre, les six variations J'/, J'm, J'/z, tî'L, ^M, (TN seront toutes indéterminées, et il faudra égaler séparément à zéro les quantités par lesquelles elles se trouvent multipliées ; ce qui donnera ces six équations déjà connues,

SXrfm = o, SYrfm = o, SZdm = o,

S (Y^ — Xj)rfm = o, S{Xz — Zx)dm = o, S (Zj — Yz)dm = o.

En second lieu, s'il y a dans le corps un point fixe autour duquel il ait simplement la liberté de pouvoir pirouetter en tous sens, et qu'on nomme a, b, c les valeurs des coordonnées x, j, z pour ce point, il faudra que l'on ait

Sa=zOy ^b = o, ^c = o; donc

d'où l'on tire

^l = b^JH — cm,

Sm=c^L — acJ^N, ^n =am—b^L.

ai.

l64 MECANIQUE ANALYTIQUE.

On substituera ces valeurs dans Féquation générale de Tarticle précédent, et mettant sous le signe S les quantités a, è, c qui sont constantes par rapport aux différents points du corps, on aura cette transformée,

<rNS[Y(a; — a) — Xir—b)]dm ^MS[X(2 —c)—Z{x — a)]dm <^LS [Z{y — b) — Y{z — c)]dm = o,

laquelle ne fournira plus que trois équations, savoir :

S[Y{x — a) — X{x—b)]dm = o, S[X(2 — c) — Z{x — a)]£?in = o, S[Z (y—i,) — Y(z — c)]dm = o.

En troisième lieu, s'il y a dans le corps deux points fixes, et que/, g, h soient les valeurs de x, j, z pour le second de ces points, on aura, de plus,

^i = gm — hm,

H =/M — gSL ; donc, comparant ces valeurs de «J"/, Sm, ^n avec les précédentes, on aura

{g — b)m — {h — c)SM = o, (/— a)«rN — [h — c)Sh = o, (/— a)m —{g — b)SL = o.

Les deux premières de ces équations donnent

et comme ces valeurs satisfont aussi à la troisième équation, il s'ensuit que la variation SN demeure indéterminée.

Faisant donc ces substitutions dans la transformée trouvée ci-dessus, on aura

{h — c) S[ Y{a; a) X(7 — b)]dm

^^l-i-{g—b)S[X{z — c)—Z{x--a)]dm\ =o;

-h (/— a) S[Z (j— 6) Y (x — c)]dm

PBEUIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. l65

ai)isi les conditions de l'équilibre seront renfermées dans cette seule équation,

{h — c)S[Y{x - a) — X (7 — b)]dm l(g'è)S[X(z — c)— Z{x — rt)]rfm[ = o.

[f-a)S[Z{y-b)-Y{z -c)]dm

63. Ces différentes équations répondent à celles que nous avons données dans la sect. III, pour l'équilibre d'un système de points isolés de forme invariable ; et nous aurions pu appliquer immédiatement les conditions de cet équilibre à celui d'un corps solide de figure quelconque, dont tous les points sont tirés par des forces données. Mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile, pour montrer la fécondité de nos méthodes, de traiter cette dernière question en particulier et sans rien emprunter des problèmes déjà résolus.

Au reste, si les deux points du corps que nous venons de supposer fixes étaient mobiles sur des lignes ou des surfaces données, ou même joints entre eux d'une manière quelconque, on aurait alors une ou plusieurs équations différentielles entre les variations des coordonnées a, ft, c,/*, g^h qui répondent à ces points ; et substituant à la place de ces variations leurs valeurs en ^/, ^m, ^/i, ^TL, J'M, ^N, d'après les formules générales de l'art. 60, on aurait autant d'équations entre ces dernières variations, au moyen desquelles on déterminerait quelques-unes de ces variations par les autres ; on substituerait ensuite ces valeurs dans l'équation générale, et l'on égalerait à zéro chacun des coefficients des variations restantes, ce qui fournirait touets les équations nécessaires pour l'équilibre.

La marche du calcul est, comme l'on voit, toujours la même, et c'est ce qu'on doit regarder comme un des principaux avantages de cette méthode.

64. Les expressions trouvées plus haut (art. 60) pour les variations ^x^ ^j/^^9 font voir que ces variations ne sont que les résultats des mouvements de translation et de rotation, que nous avons considérés en particulier dans la sect. III.

En effet, il est visible que les termes ^/, ^m, ^n, qui sont communs à tous les points du corps, représentent les petits espaces parcourus par le corps, suivant les directions des coordonnées x^ j, z, en vertu d'un mouvement

l66 MléCANIQUE ANALYTIQUE.

quelconque de translation; et l'on voit, par les formules de Tart. 8 de. la même section, que les termes zSM — /cTN, xS'N — zSLj ySh — x^M représentent les petits espaces parcourus par chaque point du corps, suivant les mêmes directions, en vertu de trois mouvements de rotation ^L, (TM, <JN autour des trois axes des x, j, z, ces quantités J'L, ^M , ^TN répondant aux quantités rf^? ^^y ^^ ^^ l'article cité. Ainsi Ton aurait pu déduire immédiatement les expressions dont il s'agit de la seule considération de ces mouvements, ce qui aurait été plus simple, mais non pas si direct. L'analyse précédente conduit naturellement à ces expressions, et prouve parla, d'une manière encore plus directe et plus générale que celle de l'art. 10 de la sect. III, que lorsque les différents points d'un système conservent leur position relative, le système ne peut avoir à chaque instant que des mouvements de translation dans l'espace, et de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux.