PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE, I yg

suit cotisidéré comme solide, et que le noyau soit augmenté de toute la niasse du fluide devenu solide.

Gomme ce théorème de Statique est important, nous croyons devoii- ino]itrer d'une manière plus directe comment il se déduit de nos t'ornuiles.

Tout se réduit à démontrer que l'équation

donne les mêmes résultats que l'équation aux limites

S?! {S^'é^dz H- ^v\'dxdz -f- St,'da:dy) =^ o. Par les conditions de l'équilibre du fluide, on a (art. 39)

rX ^= — ['Y =^ — rZ=^-"-

dx dj dz '

et, comme les valeurs de S^^ Sn, S'(^ (art. 35) sont respectivement indépendantes de X, y, z, on aura aussi

ainsi la première équation deviendra

Le premier ternie sous le signe est intégrable par rapport a x, le deuxième par rapport à j, le troisième par rapport kz; donc, si l'on exécute ces intégrations partielles, comme on l'a fait dans l'art. 17, il en résulte l'équation aux limites

^h"{S^"dfdz-\- S«"dxdz-\- S'd'dxdy) — %}^{S%' dydz-^ Si\' dxdz-^ y^' dxdj) = o.

Mais on a a'' = o (art. ii5) à cause que la surface extérieure du fluide est supposée libre ; donc il ne restera que l'équation

Sx'{S^'dydz -h h'dxdz + ^C^ dxdy) = o.

Ainsi les deux équations reviennent exactement au même.

37. Puisque, relativement aux variations dépendantes du déplacement du noyau, on peut regarder le fluide qui le recouvre comme s'il ne faisait qu'une masse solide avec lui ; lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n'yauraqu'àtenir compte de ces forces, comme de celles qui sollicitent les particules du fluide, et appliquer à l'équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu'un solide continu, les solutions données dans le chap. IV de la sect. V.

J^ IV . ~ De l'équilibre des fluides incompressibles contenus dans des vases

38. L'équation générale aux limites de l'art. 27 doit se vérifier pour tou> les points des parois du vase dans lequel le fluide est renferme.

Mettons cette équation sous la forme

?i{>^' ^x" — a'Sx') dydz ■^ ?>{}!' If— ?:iy')dxdz -f- S(a"Sz" — 7^^z')dxdyr=rz o,

et considérons d'abord les termes S(a"Sz" — 7K^z')dxdj, dans lesquels oz" et Ss' sont les variations de l'ordonnée z, en tant qu'elle se rapporte aux deux points de la surface du fluide qui répondent aux mêmes coordoimées X et j.

Il est évident que les variations Iz" tendent à faire sortir les particules de la surface hors de la masse fluide, et que les variations Sz', en les supposant toutes deux positives, tendent à faire rentrer dans cette masse les particules de la surface opposée; de sorte qu'en donnant à celle-ci le signe négatif, les variations oz" et — Ss' tendront également à faire sortir hors de la masse fluide les particules de la surface; et la double intégrale

S(a"ôs"h~ a'x ~ ^z')dxdy-

représentera la somme de toutes les quantités X^zdxdy qui répondent ;.tous les points de la surface du fluide, et dans lesquelles les variations tz seront censées avoir la même tendance du dedans de la masse fluide au dehors : ainsi, avec cette condition nous pouvons donner à cette intégrale cette forme plus simple ^T^lzdxdy.