PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Ainsi, dans Téquation générale de l'art. i7, il faudra mettre âx H- o^, ây H- Su, Sz H- S^à la place de Sx, Sj, Sz; et ensuite égaler à zéro les termes affectés des variations §x, Sy, Sz, ainsi que ceux qui se trouveront affectés des nouvelles variations 2^, Sm, S«, SL, SM, 3N, après les avoir fait sortir hors des signes S, puisque ces variations sont les mêmes pour toutes les particules du fluide.

On voit d'abord que l'introduction des variations $Ç, S*i, âÇ n'apporte aucun changement aux équations qui doivent avoir lieu pour tous les points du fluide, et qui résultent des termes affectés d'une triple intégration, parce qu'en égalant à zéro les coefficients de Sx, ây, Sz dans ces termes, les variations S0, Su, S ^ disparaissent en même temps. D'où il suit que les lois générales de l'équilibre contenues dans les formules de l'art. 19 sont indépendantes de l'état comme de la figure du noyau.

34. Il n'y a donc à considérer que l'équation aux limites, que nous avons réduite, dans l'art. 30, à la forme

SA'{cosaS>i^'-H cos^j^f'-\- cosyoz')ds^ := o.

En y substituant pour Sa^', Sj', Sz' les valeurs Sx' -h SÇ', Sy '+§«',§?/ -h S^ marquées d'im trait, pour les rapporter à la surface du fluide contigue au noyau, elle devient

SA'(cosaÔs' H- cos^oy' -+- cos'ySz') ds'^ -+- SA'(cosft5^'-|- cos/SSh' h- cos^â^') ds'^ = o.

La partie qui contient les variations Sx', Sy', Sz' est nulle d'elle même, comme nous l'avons démontré dans l'art. 51. L'autre partie du premier membre de l'équation devra donc aussi être nulle. On y substituera les valeurs de S^', Sji', SÇ', et l'on égalera ensuite séparément à zéro les quantités multipliées par S/, Sm, S/;, SL, SM, SN; on aura ces six équations,

S/cosst(iy'^ ^:^ o, Sa' cos ^ds'^ ^= o, S a' cos y d.v^ = o,

SA'(y'cos7 — z' coS|6) ds^ =^ o,

Sa'( z'cos a — x' ç,o?ty) ds' = o,

iiA'{x' cosft — j'cos a) ds- = o,

qui seront nécessaires pour l'équilibre complet du fluide et du solide.

ïo8 MECANIQUE ANALYTIQUE.

Ces équations répondent à celles de l'art. 62 de la sect. V, en substitnani ds'^ pour (/m, et a'cosk, a'cos|3, A'cosy pour X, Y, Z. En effet, V étant la force de pression qui agit perpendiculairement sur la surface du noyau solide, A'cosa, a'cosi3, a' cosy seront les forces qui en résultent, suivant les directions des coordonnées x, y, s, et il faudra que Je solide soit en équilibre, chacun des points de sa surface étant sollicité par ces mêmes forces.

35. Mais lorsqu'un fluide est supporté par un solide de figure donnée, et que l'un et l'autre sont sollicités par des forces quelconques, il est plus simple de tirer directement la solution du problème de l'équation fondamentale de l'art. 16, en y substituant immédiatement pour (T-ï, S'y, S'z, leurs valeurs complètes «Tx -1- S^, <î"y H- Sh, Sz + S^ (art. 53}.

Les variations Sx, Ij, êz étant indépendantes des autres variations SI, om, etc. , donneront une équation semblable à celle de l'art. 17, et fourniront les mêmes résultats pour l'équilibre du fluide, que dans le cas où le solide est supposé fixe.

A l'égard des autres variations è%, Su, ôÇ, il est d'abord aisé de voir qu'elles ne donnent rien dans les valeurs des différences partielles —j— » '—^ -, —f—t puisque les variations S/, êm, Sn, oL, SM., âN sont censées indépendantes de X, j, z.

Ainsi il suffira de substituer Sg, c»i, IZ, à la place de ùx, c>-, Sz dans la formule

S(XSxH- YSy+ Zhz)vdxcfydz.

et d'égaler séparément à zéro les quantités multipliées par chacune des six variations Si, Sm, Sn, ^L, ^M, ^N, après les avoir fait sortir hors du signe S. Il est visible qu'on aura de cette manière les mêmes équations qu'on a trouvées dans la sect. V (chap. IV), pour l'équilibre d'un corps solide dont chaque particule dm, qui est ici Vdxdydz, est animée par des forces quelconques X, Y, Z; de sorte que l'on a pour l'équilibre d'un fluide sur un noyau mobile, les mêmes équations que si Je fluide devenait solide.

36. ïl résulte de ces deux manières d'envisager les variations, que la pression du fluide sur la surface du noyau équivaut à l'action de toutes les forces qui sollicitent chaque particule du fluide, en supposant que le fluide