PROPRIÉTÉS GÉNÉRALKS DU MOUVEMENT, DÉDUITES DE LA FORMULE PRÉCÉDENTK
1. Considérons un système de corps disposés les uns par rapport aux autres et liés ensemble, comme l'on -voudra, mais sans qu'il y ait aucun point ou obstacle fixe qui gêne leur mouvement; il est évident que, dans ce cas, les condititions du système ne peuvent dépendre que de la position respective des corps entre eux ; par conséquent, les équations de condition ne pourront contenir d'autres fonctions des coordonnées que les expressions des distances mutuelles des corps. Cette considération fournit, pour le mouvement d'un système, des équations générales indépendantes de la nature du système, et analogues à celles que nous avons trouvées pour l'équilibre dans le § I de la sect. III de la T^ partie.
^ I. — Propriétés relatwes au centre de gravité.
2. Soient x' , y' , z' les coordonnées d'un corps quelconque déterminé du système, tandis que x, j, s représentent, en général, les coordonnées d'un autre corps quelconque. Faisons, ce qiii est toujours permis,
il est visible que les quantités x' ,r', 2' n'entreront point dans les expressions des distances mutuelles des corps, mais que ces distances ne dépendront que des différentes quantités g, n, Ç, qui expriment proprement les coordonnées des différents corps, rapportés à celui qui répond à ce' ,y' , z'; par conséquent, les équations de condition du système seront entre les seules variables ^, n, 'C,, et ne renfermeront point x\y' , z' .
Donc, si dans la formule générale de la Dynamique {art. S , section précédente), on réduit toutes les variations à Sa;, Sj)-', Ss, et qu'on substitue pour âx, ^y, Sz, leurs valeurs âas'-H 0^, Sj'+ Su, âs'-h S^, les variations Sx', %y' , Sz' seront indépendantes de toutes les autres, et arbitraires en ellesmêmes ; ainsi , il faudra égaler séparément à zéro la totalité des termes affectés de chacune de ces variations, ce qui donnera trois équations générales et indépendantes de la constitution particulière du système.
a^O MECANIQUE A?fALYTlQUE^
Les forces intérieures par lesquelles les corps pourraient agir les uns sur les autres, et que nous dénotons par P, Q, etc., comme dans l'art. 2 de h sect. III de la I"* partie, n'entreront point dans ces équations, parce que les distances mutuelles/?, q, etc. , étant indépendantes de x', y' , s', les variations^ S/7, S^, etc., relatives à ces variables, seront nulles.
A l'égard des forces extérieures P, Q, R, etc., si on les réduit aux trois forces X, Y, Z, dirigées suivant les coordonnées x, j, s, et tendantes à les diminuer, d'après les formules données dans le chap. I de la sect. V de la î"' partie, on a
PS;?-l-Qâ9 4-Rgr+ . . . = XS,T-h YS/ + ZSz,
et la formule générale devient
s [^ + x) mSx + s ($. + Y) ^Sy + S ( J? + z) mS. = o,
laquelle, en n'ayant égard qu'aux variations 8,x*', Sj', Ss', qui sont indépendantes de toutes les autres, donnera
gy S i~ + x") m + â/ S (" ^ + Y ) m -h âs'S ( '^~ + z) m ^ o,
d'oii l'on tire sur-le-champ ces trois équations :
lesquelles auront toujours lieu dans le mouvement d'un système quelconque de corps, lorsque le système est entièrement libre.
3. Supposons maintenant que le corps auquel répondent les coordonnées x , y\ z' soit placé dans le centre de gravité de tout le système. On aura, par les propriétés connues de ce centre (part. I, sect. III, g IV), les équations
S§m = o, Snm = o, S^m = o,
SECONDE l'AliTIE. — LA DYNAMIQUE. 341
lesquelles, en différentiant par rapport à t, donneront eelles-ci :
S-j;i-m — o, Sj-^m = o, S-yfm::^0.
dr dt' ' dr
Donc on aura
Sd^x f, d'^x' d^x' c<
de dr dv '
parce que x' ayant la même valeur pour tous les corps, est indépendante du signe S; on aura pareillement
» -A- "i = j s- J^, et S -^-^ m = —r^ Sm.
dv dr ' dt^ di-
Ainsi les trois équations de l'article précédent prendront cette forme plus simple :
-^ Sm -h SXm ^:::^ O,
-^Sm H- SYm r^ o,
~j-,-Sm -+- SZm :::= O.
Ces équations serviront à déterminer le mouvement du centre de gravité de tous les corps, indépendamment du mouvement particulier de chacun d'eux; et, comme les valeurs de SXm, SYm, SZm ne renferment point les forces intérieures du système, le mouvement de ce centre ne dépendra point de l'action mutuelle que les corps peuvent exercer les uns sur les autres, mais seulement des forces accélératrices qui sollicitent chaque corps. C'est en quoi consiste le principe général de la Conservation du mouvement ducentre de gravité.
Ce principe subsiste aussi dans le cas ou les corps, dans leurs mouvements, viendraient à se choquer; car, de quelque nature que soient les corps, on peut toujours imaginer que leur action dans le choc se fasse par le moyen d'un ressort interposé entre les corps, et qui, après la compression, tende à se rétablir ou non, suivant que les corps seront élastiques ou non. De cette manière, l'effet du choc sera le produit de forces de la nature de celles que nous avons désignées par P, Q, etc., et qui disparaissent dans la formule générale (art. 2).
4. On voit, au reste, que les équations du mouvement du centre de gra-
Méc. anal. I. 3i
a42 MECANIQUE ANAÏ.YTIQUE.
vite sont les mêmes que celles du moiivement d'un seul corps qui serait animé à la fois par toutes les forces accélératrices qui agissent sur les différents corps du système. Kn effet, si l'on conçoit que tous ces corps soient réunis en un point qui réponde aux coordonnées x', y' , z' , on a alors, dans la formule générale, x =^ x' , y =^ y' , z^=- z' \ et, égalant à zéro la totalité des termes affectés de chacune des trois variations Sa;', Sf', as', on aurales mêmes équations que ci-dessus.
De là résulte ce théorème général, que le mouvement du centre de gravité d'un système libre de corps, disposés, les uns par rapport aux autres , comme l'on voudra, est toujours le même que si les corps étaient tous réunis dans un seul point, et qu'en même temps chacun d'eux fut animé des mêmes forces accélératrices que dans leur état naturel.
S. Ce théorème a encore lieu lorsque les corps qui composent un système libre ne reçoivent que des impulsions quelconques; car, en substituant dans l'équation de l'art, li de la section précédente, Sx'-h S^, ^y' -+- Bu, Sz'-h S^ à la place de Sx, Sj, Sz, et réduisant les forces P, Q, R, etc., aux forces X, Y, Z, on prouvera, comme dans l'art. 2, que les variations Sx', Sy', Sz' doivent demeurer arbitraires, ce qui donnera les trois équations
S(m.r -h X) = o, S(my-|- Y) =^ o, S (mz -(- Z) = o.
Or, si l'on rapporte les coordonnées x', y' , z au centre de gravité du système, on a, par les propriétés de ce centre,
x'Sm ^= Sarm, /'Sm = Sjm, s'Sm = Szm.
Donc aussi, en différentiant relativement à t, et faisant dx = xdt, dy = ydt, dz^zdt, dr' ^ x' dt, dy'^y'dt, dz' -^z'dt,
x'Sm ^= Sxm, r'Sm ^^ Sym, s'Sm == Szm, et, par conséquent,
.x'SniH- SX :^ o, j'Sm -h SY = o, z'Sm + SZ ^^ o,
ce qui fait voir que les vitesses x' , /', z' , imprimées au centre de gravité, sont les mêmes que si tous les corps, étant réunis dans ce centre, recevaient à la fois les impulsions X, Y, Z.
SECONDK PARTIE. — /.A DYNAMIQUE. ^43
6. La formule générale (art. 2), après k substitution de 8a:' -\- 8^, 5j'^ Sh^ Sz' -+- B^h la place de 8x , Sj, oz, et l'évanouissement des termes affectés de Sx', 5/', Ss', se réduira à
g ^ d-xH + ' !l l)r^ + 'l'.ù( , xS? + YS, + ZSÇ) ,n = o.
Substituant a;' -h ^, y' -h «, s'+ ^pour x, j, s dans les différentielles d'x, d'y, d^ z, et faisant sortir hors du signe S les différentielles d^x', d^j', d^z', les termes affectés de ces différentielles seront
'^-'^-SSÇm ^ :i!^ssnm + ^ssrm.
dt^ ^ di.^ dv ^
Mais en rapportant au centre de gravité les coordonnées œ' , j', z' , on a (art. 3)
SÇm ^^ o, S«m;:=o, S^m^o;
donc aussi, en différentiant par S, on aura
SS^m ::= G, SâMm = o, SÔ^m = o,
ce qui fait évanouir les termes dont il s'agit. Ainsi la formule générale se réduira à
s (^■llMl±^pL±im ^ XS5 + Y S« H- ZSC) m = o.
qui est tout à fait semblable à la première formule, les coordonnées x,j, z, dont l'origine est fixe dans l'espace, étant changées en Ç, h, ^, dont l'origine est au centre de gravité.
On peut conclure de là (*), en général, que, dans un système libre, on aura, par rapport au centre de gravité, les mêmes équations et les mêmes propriétés que par rapport à un point fixe hors du système.
(*) Cette conclusion est Irop absolue. L'équation différentielle qui lie ï, r,, 't, est, en tffet, de même forme que celle qui lie j;,j-, a; mais, d'une pari, les équations de liaison entre ?, », ï ne seront pas ies mêmes qu'entre x , y, e, et, en outre, les forces X, Y, Z n'auront pas des expressions tle même forme par rapport aux deux systèmes de variables. Ainsi , par exemple , si l'on considère deux points qui s'attirent mutuellement avec une force réciproquement proportionnelle au carré de la distance, ils décriront des ellipses par rapport aux axes mobiles passant par le centre lîe gravité. Piir rapport à des axes fixes, les trajectoires seraienl beaucoup plus compliquées. (/. Bertrand.)
,^ II. — Propriétés relatives aux aires.
7. Considérons maintenant le mouvement du système autour d'un point fixe, et supposons qu'il soit entièrement libre de tourner en tout sens autour de ce point. En faisant abstraction des mouvements respectifs des corps du système les uns à l'égard des autres, la rotation autour de chacun des trois axes des x, j, z fournira, comme on l'a vu dans l'art. 8 de la sect. 311 de Ut repartie, les expressions suivantes des variations ê'x, Sy, S'z,
dans lesquelles J'ip, So), S'-^ sont les rotations élémentaires par rapport aux trois axes des z, y, x, et qui doivent demeurer arbitraires.
Ces expressions sont générales pour les variations des coordonnées de tous les corps du système, et il ne s'agira que de les substituer dans la formule de l'art. 5 de la section précédente, après avoir réduit toutes les variations à S'x, Sf, S'z, et d'égaler ensuite à zéro séparément les quantités aïïéctées des trois indéterminées <i'(p, S'a), ^4-
On trouvera d'abord, comme dans l'article cité de la première partie, que la variation Sp devient nulle, et qu'ainsi les termes dus aux forces intérieures P du système ne renfermant point les variations âtp, Sca, S-xf., ne donneront rien dans les équations dont il s'agit. On trouve aussi, comme on l'a vu dans le même article, que la variation S/» est nulle lorsque la force P tend vers l'origine des coordonnées, et qu'ainsi cette force n'entrera point dans les mêmes équations.
En faisant donc simplement pour ix, 5j, oz les substitutions indiquées, après avoir changé les forces P, Q, R, etc., en X, Y, Z, comme ci-dessus (art. 2), on aura, relativement aux variations Ô(p, ^ik>, §4' l'équation
i^/ h Yx - Xj j 6(p
- Xz — Zx\ Sa,
dt'
xd'
zd'
de
SKCONDE PARTIE, — LA DYNAMlQUlî. ^45
système, elles n'entreront pas sous le signe d'intégration S; de sorte qu'on anra les trois équations relatives à chacune de ces variations,
S r ^ - 2 ^ + rZ - zY
Ces équations auront lieu à la fois lorsque le système aura la liberté de tourner autour de chacun des trois axes, c'est-à-dire toutes les fois que le système sera disposé de manière à pouvoir pirouetter librement en tout sens autour du point fixe qui est l'origine des coordonnées.
Et il est bon de remarquer que ces équations ont toujours lieu indépendamment de l'action mutuelle des corps, de quelque manière que cette action puisse s'exercer, même par le choc mutuel des corps du système, comme dans l'art. 5, et par la mcnie raison ; elles sont, de plus, indépendantes des forces qui tendraient vers le point fixe où est l' origine des coordonnées.
8. Pour se former une idée plus nette de ces équations, on remarquera: i". Que les quantités œd^j — y<P x^ zd^x — xd^ z, y d"^ z — zd'^ y sont. les différentielles de celles-ci, xdy — ydx, zdx — xdz,ydz — zdj, lesquelles représentent le double des secteurs élémentaires décrits par le corps m sur ie plan des x, f, des x, z et des j-, z, c'est-à-dire sur les plans perpendiculaires aux axes des z, des y et des x. En effet, si dans xdy — yd-x on substitue pour :t; et j les valeurs p cos (p, p sin ip, on a p^ dip double de l'aire comprise entre le rayon vecteur p et le rayon consécutif qui fait avec lui l'angle d^ ;
•2". Que les quantités X, Y, Z représentent les forces qui sollicitent chaque corps m, suivant les coordonnées x, j, s, et vers leur origine, et qui résultent de toutes les forces P, Q, R, etc., agissantes sur ce corps, suivant des directions quelconques (art. 3, sect. Il), et qu'ainsi les quantitésjX — xY , xZ — zX, sY — jZ expriment les moments des forces qui tendent à faire tourner les corps autour de chacun des trois axes des coordonnées z,y, x, en prenant le mot moment dans le sens ordinaire, pour le produit de la force et de la perpendiculaire menée sur sa direction.
2i46 MÉCANIQUE ANALïTIQUK.
9. Si le système n'était animé par aucune force extérieure, ou s'il l'étail seulement par des forces tendantes au point que nous avons pris pour l'origine des coordonnées, les trois équations précédentes se réduiraient k celies-ci :
tj fzd^x — xd^z\
■Pz — zd'y\
dt'
lesquelles, étant intégrées par rapport à la variable t, donneront, en prenant trois constantes arbitraires A, B, G,
( xdj — y-dx\
s(ï21=i^lm=G,
, ( zclx — xdz\
Ces dernières équations renferment évidemment \e principe des aires, dont nous avons parlé dans la première section.
iO. Il est à propos de remarquer que ces équations sont dans le cas de l'art. 10 de la section précédente; de sorte qu'on y peut introduire trois nouvelles constantes arbitraires , par le changement des axes des coordonnées.
Soient .ï',/', z' les nouvelles coordonnées; on aura également
les quantités A', B', G' étant aussi des const.intes arbitraires, mais différentes deA, B, G.
Substituons maintenant dans l'expression xdj — ydx les valeurs de c, y.
SKCONDE PARTIE. — Ï.A DYNAMIQUE. ■xi\'-j
en -r', f', z données dans l'article cité de la même section, on iinra
xéy — fd.x^= [a^' — [:,«') [x' dy' — y' dx') +- [ya — ay') {z' dx' — x'dz') H- {/sy' — y{i') {y'dz' ~ z'dy').
On trouvera de même,
zdx — xdz=^ {[W — KjS") {x'dy' — y' dx') H- {cf.y" — ya") {z' dx' — x' dz') -h (y/3" — ^y") [y' dz' — z'dy'),
ydz — zdy = [a.'^"— fi'a") {x'dy' — y' dx') -r- (y'»"^^ '^■'y") {-■' dx' — x' dz') H- [y' (i" — p'y") {y' dz — '^' dy').
Si l'on affecte tous les termes de ces équations du signe S, après les avoir multipliées par m et divisées par dt, et qu'on y substitue à la place des intégrales affectées de S, leurs valeurs A, B, C, A', B', C, on aura
C =: (</ — '^0.')^ + (>«' — ay')\i + (fi^' —7/3') A', B ^ (,3«" ~ «p'OC H- {'j.y" ~ y«")B' + (7/3" - /37") A', A ^ («'/3"— (3'«")C'+ [y a"— a'y")^ -h {y' fJ' — \i'y")^-
On peut réduire ces formules à une expression plus simple, en observant que l'on a identiquement
{a{i'~ fd«')^+ (,^«"- «/5")'+ («',S"-P'«'')' ^ («^ -h«'^-h «"') (fi^-h/3'=-h(3"=)— («/5+ «'|3'-h«"f3'0%
quantité qui se réduit à l'unité, en vertu des équations de condition de l'art. 10 de la sect. 111 de la F^ partie. On a, déplus, ces équations identiques:
«(«'(3"- (3'«") + «.'Cy- .fJ") + «" W- f.,!) = o, fl(«',5"~ /3'c") H- ,3'(|3«"- ^(3") + |9"{«p'- (3«') = o.
Si donc on compare ces équations avec les trois équations de condition
y'-{- 7'^ ■+■ y"--=- I , ay -y a y' -^^ a" y" -= a , /37-H p'y'-t- fJ' y" = o^ il est facile de conclure de cette comparaison qu'on aura
a4-8 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
Les quantités 7, 7', '^" pourraient avoir également le signe — ; maiiv comme, dans la coïncidence des axes des od ^ y\ z' avec ceux des x, y, s, oii doit avoir a = i,p^o,7=o, a' = o,^' = i , y' = o^a" ^^ o, fi" = o. y" = I (art. 11, sect. III, partie I), cette condition ne peut avoir lieu qu'en prenant y" positivement, et par conséquent aussi y' et y.
On trouvera, de la même manière,
y' a" — et! y" ^ ^^ ay" — ya"=^ f3', ya ~- ay' = (3", y'p"~ (i'y" = K, >('5" — fiy"= r/ , (iy' y(i' = ck"-
de sorte que l'on aura
A = «.V + pB' + yC, H= a'A'+fi'B'+^'C, C ^ a" A' -h fi" B'^ y" a, d'oùTontire, par les équations de condition de l'art. 10 (sect. III, partie i)^
^' = a^ + Bk' -+- Ca",
B'^ Ap-H Bj3' -+■ Gfi", C' = A>-h B7' +C7", et
A^+B^-hC'^^ A'=-hB'^+C'^
Il résulte de cette dernière équation qu'on a, en général,
d'où l'on peut conclure que la fonction
a toujours une valeur indépendante du plan de projection et de la position des axes des coordonnées œ, y, z dans l'espace, pourvu que ces coordonnées soient rectangulaires entre elles-
H. Ces expressions de A, B, C, en A', R', C qu'on vient de trouver, sont semblables à celles de x,j-, z en œ', /', z' de l'art. 9 de la section précédente; par conséquent, si Von prend x' = A' ,f' =: B', z' ^= C, on aura A =^ .X, B ^^ j, C ^= s, et réciproquement ,r ^= A, j = B, s = C donnera A'=x', B' ^^ y , C ^= z' ', c'est-à-dire que A, B,C et A', B', C seront deux systèmes de coordonnées qui répondent à un même point, le premier étant relatif aux axes des x, j, z, et le second aux axes des x', y\ i! .
On voit tout de suite par là qu'on peut faire A'= o, B' = o. en faisant passer l'axe des C ou z' par le point auquel répondent les coordonnées A, B, C, et qu'alors la coordonnée C aura sa pins grande valeur égale à y'(A''-|- B*+ C^). On aura, dans ce cas,
A^yC, B^y'C, G==7"C',
et il est facile de voir que les coefficients 7, y', y" ne seront autre chose que les cosinus des angles que la ligne C fait avec les axes des A, B, C Ainsi la résolution des équations
r. l z' dx' — x'dz'\
donnera celle des équations
les quantités 7, y' , y" étant trois constantes telles que y'^ -^ y''^ -^ y - = i , st dont deux sont arbitraires.
Le plan perpendiculaire à l'axe des C, lorsque C devient un muximuin, est celui que M. Laplace nomme plan invariable, et dont il a, le premier, démontré l'existence et la position.
MPC. nnnl. I, 32
aSo MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
Cette position est facile à déterminer par les équations
A = 70', B = y'a, C^y'CV;
car, puisque les quantités y, y', y" sont les cosinus des angles que l'axe des C ou z', qui est perpendiculaire au plan invariable, fait avec les axes des .p, y, z du système, en nommant ces angles /, m, ft, on aura, à cause de
12. Si le système esE libre, c'est-à-dire qu'il n'y ait aucun des points du système qui doive être fixe, on peut prendre l'origine, supposée fixe, des coordonnées x, y, z partout oîi l'on voudra ; par conséquent, les propriétés des aires et des moments que nous venons de démontrer auront lieu par rapport à un point fixe quelconque pris à volonté dans l'espace.
Mais, par ce que nous avons démontré dans l'art. 6, ces mêmes propriétés auront lieu également par rapport au centre de gravité de tout le système, soit que ce centre soit fixe ou non. En effet, si dans les trois équations de l'art. 7, on substitue pour x^ y, z les quantités x' ■+-^, y' -V- h, s'-f- Ç, en rapportant, comme dans l'art. 5, les coordonnées x' , y' , z' au centre de gravité du système, et qu'on ait égard aux trois équations de ce dernier article, on aura ces transformées :
S ( ^'''^'"^'^'^ + ÇX- ?Z) m = o,
S ( "■''?-/''''' + ,Z-CY) m ^o,
qui sont, comme l'on voit, semblables à celles de l'art. 7, et dont toute la différence consiste en ce qu'à la place des coordonnées x, y, z partant d'un point fixe, il y a les coordonnées 5, h, f^, dont l'origine est dans le rentre de gravité du système.
Ainsi, lorsque les forces accélératrices sont nulles, on aura les intégrales
sur lesquelles on pourra faire des remarques analogues à celles que nous avons faites sur les équations de l'art. 9.
15. Quand un des corps du système est retenu fixement par un obstacle quelconque, en plaçant dans ce corps l'origine des coordonnées, on a le cas de l'art. 7. Mais si deux corps du système sont supposés fixes, on regardera la ligne qui passe par ces deux corps comme un axe fixe autour duquel le système peut tourner librement, et prenant cet axe pour celui des coordonnées 3, on aura simplement, par le même article,
Sx = —fS'(p, Sj = ^(î<p,
S(p étant la rotation élémentaire autour de cet axe, laquelle doit demeurer indéterminée. On n'aura ainsi qu'une seule équation relative à cette variation, ^ç, laquelle sera
et lorsque le moment xY — /X des forces extérieures par rapport à l'axe de rotation est nul, on aura par l'intégration, comme dans l'art. 9,
équation qui donne le principe des aires par rapport au plan des x, y perpendiculaire à l'axe de rotation, et sur lequel les aires décrites par les corps doivent être projetées.
Si trois corps du système étaient supposes fixes, alors la position de chacun des autres corps dans l'espace serait déterminée par ses distances à ces trois corps, et il n'y aurait plus de variations indépendantes de la nature du sys-
25h MECANIQUE ANALYTIQUK.
tème et de la disposition respective des corps entre eux, d'où l'on put déduire des équations générales pour le mouvement d'un système quelconque.
§ 111. — Propriétés relatives aux rotations produites par des forces
14. Quand un système libre de toiimer en tout sens autour d'un point fixe reçoit des impulsions quelconques, on peut aussi employer, dans l'équation de l'art. 11 de la section précédente, les expressions de S'x, Sf, Szàe l'art. 7, après avoir réduit à X, Y, Z les forces d'impulsion P, Q, R, etc.; et, en égalant séparément à zéro les termes multipliés par les variations ê'^, S'f», S-^, on aura les trois équations
S [m (x)- — j-œ) -f- xY — jXJ = o, S [m [zx — xz) H- sX — ^-Z] = o, S [m ixz — zy) ^y7. — zY] = o, ■
pour le premier instant du mouvement produit par les impulsions X , \ , Z. Dans les systèmes qui sont tout à fait libres, on peut prendre le point fixe partout où l'on veut dans l'espace, et les équations précédentes auront toujours lieu par rapport à ce point.
1d. Dans ces systèmes, on peut aussi rapporter leurs rotations à trois axes qui passent par le centre de gravité ; car en faisant, comme dans l'art. S,
J.X ^ i^.r' + S^ Sx = Sy -h ^H, Sz =^ Sz'-^ s^,
les variations Sx', Sy', Sz donneront d'abord les trois équations relatives au mouvement du centre de gravité trouvées dans ce même article. Il restera ensuite l'équation
S [(m^ + X) ^? + (m/ H- Y) ^« + (ms -h Z) S'C\ = o.
Or, en rapportant les rotations S-i, Sa, Sip aux axes des coordonnées $, h, t^, et n'ayant égard qu'à ces rotations, on a, comme dans l'art. 7,
s^ = 'CSu> - >,s<p, Sk -^ ^Stp — t:s4, s^^rS4 — ^Sa,
yGoosle
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. y.53
et les trois variations indéterminées i'-i, So>, Sip donneront les trois équations S[m(5j — «x) H-ÏY— »K] =o, S I m (Ç.C ~ ?^) + ÇX - 5ZJ = o, S [m (k - Zr) + »Z - ÇY] = o.
Mais .r = .c'h- Ç, j =j)^'h- «, z = z'--\-t,\ flonc, substituant ces valeurs^ faisant sortir hors du signe S les quantités x' , y' , z', qui ne se rapportent qu'au centre de gravité, et observant que par les propriétés de ce centre ou a
Sm^ = o, Smn = o, Sm^^^^o,
les trois équations précédentes deviendront
S[m(e»-4) 4-gY — «Xj=-o,
qui sont tout à tait semblables à celtes de l'article précédent, et dans lesquelles les coordonnées ^, h, ^ ont leur origine au centre de gravité, et les vitesses Ç, «, ^sont relatives à ce centre.
Ainsi les équations relatives à un point fixe, subsistent aussi, lorsque ie système est libre, par rapport à son centre de gravité.
ît>. Les équations que nous venons de trouver pour l'effet des impulsions dans le premier instant, ont lieu aussi dans les instants suivants, s'il n'y a point de forces accélératrices, en regardant comme constants les termes qui dépendent des impulsions X, Y, Z; car x, y, z étant les vitesses parallèlement aux axes des x^ y, s, on a dx ^ xdt, dy = ydt, dz = zdt. et les équations de l'art. 9 deviennent
Sm [xy — yx) ^^ G, Sm {zx — xz) = B,
Sm {yz — zy) = A,
a54 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
lesquelles, étant comparées à celles de l'art. 14, donnent
C = S(jX — a^Y), B = S(a;Z — 2X),
Ainsi on a les valeurs des constantes A, B, C exprimées par les impulsions primitives données à chaque corps ; et l'on voit que ces valeurs ne sont autre chose que les sommes des moments de ces impulsions, par rapport au\ axes des X, des y et des z.
II en sera de même des équations relatives au centre de gravité, en comparant les équations de l'art. 12 avec celles de l'art. 15.
17. Si l'on ne considère que les mouvements de rotation par rapport aux trois axes des coordonnées x, j, z, et qu'on désigne par '^, co, <p les vitesses de ces rotations, les variations ^a;, Sy, ^^ seront proportionnelles aux vitesses x, f, z, et les variations iî4' ^^y '^9 seront en même temps proportionnelles aux vitesses -vf., a, tp; les formules de l'art, 7 donneront ainsi
X ^ ZO) — y<p, Y ^^ X<p — Z'\f., z ;= J'4 — Xû).
Ces valeurs de x, f, z ne sont que les parties qui dépendent des trois rotations ; pour avoir les valeurs complètes des vraies vitesses x, y, z, il faut v ajouter les parties qui dépendent du changement de situation des corps du système entre eux, et qui sont indépendantes des rotations.
Mais lorsque le système est invariable, ce qui a lieu dans tous les corps solides d'une figure quelconque, ces parties des vitesses sont nulles, et les valeurs de x, y, z se réduisent simplement à celles que nous venons de donner. On pourra donc substituer ces valeurs dans les équations précédentes, et faisant sortir hors du signe S les quantités 4» ^j ?> on aura, pour un solide de figure quelconque, en mettant l'élément Dm à la place de m (art. 7, section précédente), les équations
<pS{x'' -f-y*) Dm — -^SxzDm — coSyzDm =: C, (mS {x^ h- z^) Dm — 'IS^Dm — ipSjzDm :^ B, 4S(j^-[~ S") Dm — cùSxyDm — <pSxzDm = A,
par lesquelles on pourra déterminer les vitesses des rotations initiales 4, &>, <p, produites par les impulsions X, Y, Z appliquées à des points quelconques du corps, et dont les moments, par rapport aux axes des x,y, s, sont A, lî, C. Gomme les vitesses de rotation sont proportionnelles aux angles infiniment petits, décrits en même temps par les rotations respectives, il s'ensuit de ct^ qu'on a démontré dans la sect. III de la F*' partie {art. H), que les trois vitesses -J,, «, ^ se composent en une seule vitesse 9, telle que
avec laquelle le corps tournera réellement autour d'un axe instantané, faisant, avec les axes des x, y, z, des angles A, ^, v, tels que
Ainsi les trois équations précédentes donneront la position de l'axe autour duquel le corps tournera dans le premier instant, et la vitesse de rotation autour de cet axe. C'est celui qu'on appelle axe spontané de rotation.
18. Dans les instants suivants, le corps continuera à tourner par sa force d'inertie, et les trois équations qu'on vient de trouver auront encore lieu, en regardant comme constants les termes qui contiennent les forces d'impulsion X, y , Z, comme on l'a vu dans l'art. 16 ; mais les quantités S{x^+}'^) Dm , Sa?^Dm, etc., deviendront variables à raison de la variation des coordonnées X, y, z pendant la rotation.
Mais une conséquence remarquable qu'on tire de ces équations, c'est que, dans un instant quelconque, le corps a le même mouvement de rotation qu'il recevrait dans cet instant par l'impulsion des mêmes forces qui l'ont mis d'abord en mouvement, si ces forces lui étaient appliquées de manière à produire les mêmes moments autour des axes des x, f, z.
Et comme ces équations ne sont que les équations générales de l'art. 16, pour un système quelconque de corps, appliquées à un corps solide de figure quelconque, il s'ensuit que si le système qui a reçu des impulsions primitives devient, par l'action mutuelle et successive des corps, un système invariable ou un solide quelconque, les mêmes équations auront encore lieu ; de sorte
D.3^ llECANiQUE ANALYTIQUE,
que le solide aura à chaque instant !e même mouvement de rotation qu'il recevrait par les mêmes impulsions primitives, si elles lui étaient appliquées iiiimédiateinent de manière à produire les mêmes momeiits.
i)onc aussi une niasse fluide, agitée primitivement par des forces qucleot]ques, abandonnée ensuite à elle-même, et devenue solide par l'attraction mutuelle de ses parties, aura, à chaque instant, le même mouvement de rotation que les forces primitives lui imprimeraient si elles agissaient de la même manière sur la masse solide.
19. Les trois équations de Tart. 17 donneront les valeurs des moments A, B, G de toutes les forces primitives, en connaissant la position instantanée du corps et ses trois vitesses de rotation 4, a, <p, par rapport aux axes fixes des X, y, z, ou la vitesse composée ô autour de l'axe instantané, avec les angles A, y«, v, de cet axe avec les axes lîxes des x, j, z; et réciproquement, ayant ces moments, on pourra en déduire les valeurs des vitesses de rotation.
On volt aussi par ces équations que les moments seront nuls si les vitesses sont nulles ; mais les moments étant supposés nuls, il ne s'ensuit pas évidemment que les vitesses de rotation doivent être nulles. Car, en faisant A t= o, Jî = o, G ^ o, on a trois équations linéaires entre '^, a>, ç; et il faudrait prouver que ces trois équations ne peuvent pas subsister ensemble, à moins de supposer 4 ^= o, ty :^ o, <p =^ o.
En éliminant deux de ces inconnues, on a une équation qui donne la troisième inconnue nulle ou arbitraire, mais avec la condition
S(^^ -Hy*) ï^iïi X S(a7^H-z^)Dm X S(j^+3'')Dm :=S(a:'-h/^)Dm x (SxfDm)*+ S(a:* 4- z^) Dm X (S^'sDm)" H- S {j^4- 3^) Dm X (SjzDm)^-h aSOT^Dmx Sx'zDm x SjsDm;
et il faudrait prouver que cette condition est impossible à remplir, ce qui paraît très-difficile {*), Mais nous démontrerons plus bas (art. 51) que, lorsque les moments sont nuls, toute rotation s'évanouit aussi.
'.') Kous donnons à la fin du volume la dùmonstralion de te tiiéorème, qui n'offre pas, à beant'oup près, la difficulté que Lagrange semble lui attribuer. M. Binet en a publié une depuis lon{;tenj[>& .dans le Bulletin de ta Société Phitomaeique. (/. Bertrand.)
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. Hity
D'où nous pouvons d'abord conclure qu'il est impossible qu'un système de points isolés, ou une masse fluide quelconque, puisse former un corps solide qui ait un mouvement de rotation, à moins que les impulsions primitives n'aient été telles, qu'il en soit résulté un moment par rapport à l'axe de cette rotation.
20. Par les transformations exposées dans l'art. 10, on peut changer les trois équations de l'art. 17 en des équations semblables, dans lesquelles les quantités x, y, z, A, B, C soient remplacées par les quantités analogues x' ,
Désignons par ■^' , a , <p' les vitesses de rotation par rapport aux nouveaux axes des x\ y' , s', on aura aussi :
dx'=x'dt= [z'cà' — y'<^')dt,
dy'^=y'dt:^ [x'cp' — z''^')dt,
dz' = z' dt =^ (/'4'^" x'ù}')dt,
et les trois premières équations de l'art. 10 deviendront, par ces substitutions, en changeant m en Dm,
<p'S (a^'^H- j'^)Dm i'Sx's'Dm — w'Sj's'Dm = C,
û)'S>{z'^ -\-^'')ï)m— -^'^x'y'Bm — (p'Sr's'Dm= B',
'î'S(j'^-l- s'^)Dm — (u'S^'j'Dm — ip'S.r's'Dm = A',
dans lesquelles on aura, par le même article,
B'^ A(3 -hBJ3'+C^^ C' ^^ Ay -+- \^y'-\- G7".
Ces équations ont l'avantage que la position des axes de rotation y est entièrement arbitraire, puisqu'elle ne dépend que des quantités a, fj, 7, a', etc. ; et, comme elles ne sont que du premier ordre, rien n'empêche de donner à ces axes une position différente d'un instant à l'autre, et de les prendre de manière qu'ils soient fixes dans l'intérieur du corps, et, par conséquent, mobiles avec lui dans l'espace. AlorsIesquantitésS(^''-h,>''^)Dm,
Méc. niitiL I. 33
Sa^'j'Dm, etc., deviendront constantes; mais les quantités A', B', C seront variables, à cause de la variabilité des quantités a, [5, y, x', etc. Nous donnerons dans la suite des moyens directs de parvenir à ces équations, qui sont d'une grande utilité dans le problème de la rotation des corps.
21. On a vu dans l'art. 16 que les constantes A, B, C expriment les sommes des moments des impulsions primitives données aux corps, relativement aux axes des x, y, z. Or il est facile de prouver que les quantités a, a', a" représentent les cosinus des angles que l'axe des x' fait avec les axes des X, j, z\ que les quantités [3, fS', jS" représentent les cosinus des angles que l'axe des y' fait avec les mêmes axes des x, j, s, et que les quantités y, y' , y" représentent les cosinus des angles que l'axe des z' fait avec ces mêmes axes. Donc, par ce qu'on a démontré dans la première partie sur la composition des moments (seet. III, art. 16), les trois quantités A', B', C' seront les moments des mêmes impulsions rapportés aux axes des x' , y', z', c'est-àdire aux axes de rotation fixes dans le corps et mobiles dans l'espace. Ainsi on pourra appliquer à ces axes les mêmes conclusions qu'on a trouvées dans l'art. 19.
J5 IV. — Propriétés des axes fixes de rotation d'un corps libre de figure quelconque.
22. Nous réservons pour un chapitre particulier la solution complète du problème général de la rotation d'un corps solide de figure quelconque; nous allons seulement examiner ici le cas oii l'axe instantané de rotation demeure immobile dans l'espace, ou au moins toujours parallèle à lui-même lorsque le corps a un mouvement progressif, parce que ce cas se résont facilement par les formules du paragraphe précédent, et qu'il conduit aux belles propriétés des axes qu'on nonime principaux, ou axes naturels de rotation.
Reprenons les équations fondamentales de l'art. 17; faisons, pour abréger,
/^^S.t^Dm, m = S 7^Dm, n^'èz~\im,
y'^^ S/s Dm, i,'' = Sa;zDm, h^='àxyT>Ti\,
et substituons pour 4) (^i 'P leurs valeurs 9 cos A, 9 cos m, Ô cos v, S étant la vitesse de rotation autour de l'axe instantané qui fait les angles A, «, v avec
Ses axes fixes des x, j, % ; ces équations deviendront ainsi , en les divisant par ô,
{m -h n) eos A — h ces ia. — g cos c = — ?
(/ + «)cos^ — /tcos A — /'cos V ^= — î ( ^ H- m) cos V — g cos A — fco^y. ^^ ■- ■
23. Les six quantités /, m, n, f, g, h sont variables; en les différentiant, substituant pour dx^ dj, dz les quantités xdt, ydt, zdt, et, ensuite, pour X, y, z leurs valeurs (article cité), on aura
dl ^'2. (g'coSjW — Acos v) êdt, dm^^ 2(Acosi' — J'cos?\)Bdt, dn ^ 2 (/"ces A — g cos/u) Bdt, df =^ [(m — n) cos A h- g'cosc — Acos/a]5(^ï, (/g- := [(k — l) cos w -h A cos A — /'cos V ]9(/i, rf/t =^ [( / — m) cos V -(-ycos^ — g cos A]â(//. Ces six équations, jointes aux trois de l'article précédent, renferment la solution générale; mais nous ne considérons ici que le cas où les angles A, M, V demeurent invariables, et il s'agit de voir sous quelles conditions ces quantités peuvent être constantes.
24. Pour cela, il n'y a qu'à difFérentier les trois premières équations dans cette supposition, et y substituer les valeurs des différentielles dl^ dm, etc. ; on aura, après avoir divisé par ôt/f, ces trois-ci ;
y(eos v" — cos^^) — g" cos A cos «. + /iCosAcosv
