KM

-\- {ni — n) cos ^ cos v ^^ — ^ '^ 17/ '

/'cos A cos /^ + g" (cos A^ — cos r^ ) — h cos u cos v

-\- [n — / ) cos A cosv = — ~ X -s'

— /'cos A cos V -\- g cos /A. cos V -h A ( cos fj."^ — cos a'^ )

, , , C db

+ (/ — m)cosAcos^:= — Ti'^ It'

5,6o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Si l'on ajoute ces trois équations ensemble, après avoir multiplié la première par cos A, la deuxième par cos^, la troisième par cos v, on a l'équation

laquelle donne

(/À=o, ou bien Acos^i -f- Bcos w + Ccosv =^ o. Nous verrons plus bas (art. 58) que la quantité

A-i -h Bty H- G (p, qui est la même chose que

(A cos A H- Beos m -h C cos v) Û,

exprime la force vive du corps, laquelle ne peut jamais être nulle tant que le corps est en mouvement.

II faut donc supposer en général de ^= o, et, par conséquent, la vitesse de rotation â constante. Alors les trois équations ci-dessus se réduisent à deux, qui donnent les rapports des cos X, cos^, cos v; et comme on a

cos A^ H- cos /-t^ + cos f- = I , ces rapports suffiront pour déterminer les trois cosinus.

2S. Supposons

cos;j. cosv

cos X "~~ cos À '

les trois équations précédentes deviendront, à cause de de =: o,

y (w" — s^) — gs -h ^m -\- (m — n)su= o, g{i — u^) — /tsu -\-fs -\- [n — l )u :=^ o, h{s^ — I ) H- gsu — fu -\- (l — m) s =o.

La dernière donne

f-S' cette valeur étant substituée dans ia première ou dans la seconde, ou plutôt

SECONDE PARTIE. LA DYNAMIQUE. a6 1

dans la somme de ces deux, après avoir multiplie Tuue par g- et l'autre

par y, pour en chasser Vu^, on a [gh{m — n) ^f{g' — h')]s' -+- [g{l~ m) {m — n)+fli (ri— ■>.l H- m) -^g{g'+h'— a/')]j' -1- [f{t-m) (m - «) 4- g-A{n- -jm H- t) +/(/' -h /r^ 3.g-=)J,f +fh(l-n) + g{f'-h')=o.

Cette équation étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle; ainsi on aura une valeur de s et une valeur correspondante de a, par le moyen desquelles on pourra déterminer la position d'un axe invariable et de rotation uniforme. Mais comme cette détermination dépend des quantités /, m, n,f, g", h, qui varient avec le temps t, il faut encore prouver que la variabilité de ces quantités n'influe point sur la valeur des deux quantités s et u.

26. Pour y parvenir, nommons P, Q, R les premiers membres des trois équations de l'art. 22; les premiers membres des équations de l'art. 24

seront -. — ) -.— ^) T— ; en y mettant pour dt, dm, etc., leurs valeurs. Or il Bdt Bdt ddt ^ ^

est facile de voir qu'on a, par la substitution de ces mêmes valeurs,

t/P ^= (Rcos^ — Qcos v)Bdt, e/Q— (Pcosp — RcosA)9fl(i^, (iR=(QcosA —'^co%!J.)Ûdt.

D'après ces équations, dans lesquelles A, ^, v et 9 sont des quantités constantes, il est facile de voir que si les valeurs de -,- ; ^j -7- sont nulles

1 dt dt dt

lorsque ^ = o, ou t = à une quantité quelconque donnée, celles de

"dF ' ~d^ ' ~dF ' ~dï^ ' ~d^ ' "dF ' ^^ ^iiisi Q^ suite a t muni , seront aussi

nulles pour la même valeur de t.

Or on sait, par le théorème de Taylor, que la valeur d'une fonction ^jde (, lorsque t devient t -f- t' , devient en même temps

dV , d-'V . d'V r. d'V

■xdt^ ^ -x.Zdt

yGoosle

•iQ-J. MECANIQUE ANALYTIQUE.

Donc, si --5- = o lorsque t' ^o, on aura toujours -r- ^= o, quel que soit t'. Kt ia même chose aura lieu pour les valeurs de '-^ et -j- ■

Il s'ensuit de là que si les équations de l'art. 25, qui ne sont que les transformées des équations -^-=0, —^ ^^ o, -y- = o, ont lieu daiis un

instant quelconque, elles auront lieu, quel que soit le temps t, dans l'hypothèse des quantités s et u constantes. Par conséquent, les valeurs de ces quantités seront indépendantes de la variabilité des quantités l, m, n^f, g, h ; de sorte qu'il suffira de déterminer les valeurs de ces dernières quantités pour une position quelconque du corps à l'égard des axes fixes des x, j, s, pour avoir celles des quantités s et u qui déterminent la position de l'axe de rotation, lequel doit demeurer immobile dans l'espace, ou du moins toujours parallèle à lui-même, si le corps a un mouvement progressif.

Et comme cet axe, par sa nature, est fixe dans l'intérieur du corps pendant un instant, puisque le corps est censé tourner autour de lui, il s'ensuit qu'il y doit toujours demeurer fixe; car il est évident que si, dans l'instant suivant, il changeait de place dans le corps, il changerait nécessairement de place dans l'espace; ce qui est contre l'hypothèse.

27. Ayant trouvé la position de cet axe dans l'espace, rien n'empêche de supposer qu'il coïncide avec l'axe des x dont la position est arbitraire.

On pourra ainsi supposer X=. o, et, par conséquent, cos A ^^ i , ce qui donnera s :^= o et m = o. De là on trouve, par les équations de l'art. 23, g- ^= o, A = o. Ainsi cet axe a ia propriété qu'en le prenant pour l'axe des x, les valeurs des deux intégrales S^t^^Dm, S^czDm (art. 22) deviennent nulles.

Supposons maintenant dans nos formules g ^ o, h^^ o, et désignons par/', r, m', n' , ce que deviennent les quantités/', ^, m, n dans ce cas. Cette supposilion donne d'abord .ï :^^ o et w ^ o, c'est le cas précédent; ensuite elle donne aussi ^ et m infinis, et, par conséquent, cosA=^o, A ^ 90"; cette valeur répond aux deux autres racines de l'équation en s du troisième degré, et, par conséquent, à la position des deux autres axes. Or la première des équations en s et u (art. 2S) devient, lorsque g et h sont nuls,

y (m* — s^) -f- [m' — n)su = o,

SECONDE PARTIR. — L\ DYNAMIQUE. -.wi

et substituant pour ^ et « leurs valeurs,

/'{cosv'^ — cos w*) -h {m' — «') cos^. cosf ^= o; mais en faisant cos A ^ o dans cos A'^ H- ces ^^ -h cos r^ = i , on a

cos V = y (i — cos.w^y = sin ^ ; et l'équation précédente se réduit à celle-ci :

tan g a ^ ;^ „--Z^ ,

laquelle donne pour l'angle pt. deux valeurs dont l'une surpasse l'autre de 90 degrés.

Ainsi ayant pris l'axe des x dans le premier axe de rotation, les deux autres axes de rotation uniforme seront dans le plan des y et z, et feront avec l'axe des y les angles ^ et ^ + 90", de manière que les trois axes de rotation seront rectangulaires entre eux, comme ceux des coordonnées. On pourra donc prendre aussi ces deux derniers axes pour ceux des yetz; l'on aura alors ^ = 0, et, par conséquent, f' = 0', de sorte que la valeur de l'intégrale SyzDm sera aussi nulle.

28. Il existe donc pour chaque corps solide, quelle que soit sa ligure et sa constitution, et par rappoi't à un point quelconque du corps, trois axes rectangulaires qui se coupent dans ce point, autour desquels le corps peut tourner librement et uniformément; et ces trois axes sont déterminés par les conditions suivantes :

Sa?/Dm ^=. o, Sx'jsDm = o, SjsDra ^^ o,

en prenant ces axes pour ceux des coordoïinées x, y, z.

Lorsque ces axes passent par le centre de gravité, on les nomme o-tev principaux, d'après Euler, à qui on en doit la connaissance ; on les nomme aussi axes naturels de rotation, ou, en général, axes principaux, soit qu'ils passent par le centre de gravité ou non.

29. En faisant/';^ o, g = o, h ^^ o, ce qui a lieu par rapport aux trois axes principaux, on a aussi, par les équations de l'art. 23,

dl dm dn

di ' lit ' dt '

i),64 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

ce qui fait voir que les quantités /, m, n sont alors les plus grandes ou les plus petites. Pour pouvoir distinguer les maxima et les minima, il n'y aura

qu'à chercher les valeurs de -7-?? —rr- ■> tt ' et l'on trouvera, à cause de â

1 dv dv de '

constante,

-j^ =^ 2 \[n — /) cos,tt' — (/ —m) cos v^\¥ ^

-j^ = 2 [(/ — m) cos v'^ — {m — n) cosA^jé^,

-J-- = 2 [(m — n) cos A^ — (n — /) oos,«^]ô'.

Donc, si / > m, m > n, la valeur de -^ sera toujours négative, celle de -^ ,, toujours positive, et celle de -jy- pourra être positive ou négative; par (.■onséq Lient, / sera toujours un maximum, n un minimum, et m ne sera ni Tiin ni l'autre. On voit aussi que -j-^ aura toujours une valeur négative, et , ; aura toujours une valeur positive; de sorte que la quantité l -\- m sera toujours un maximum, et m. -j- n un minimum.

Les quantités l -h m, l -\- n, m -\- n^ qui expriment les sommes des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance aux trois axes des z,y, X, se nomment, d'après Euler, moments d'inertie du corps relativement à ces axes ; ils sont pour le mouvement de rotation ce que les simples ma^es sont pour le mouvement progressif, puisque c'est par ces moments qu'il faut diviser les moments des forces d'impulsion, pour avoir les vitesses de rotation autour des mêmes axes.

C'est par la considération des plus grands et des plus petits moments d'inertie, qu'Euler a trouvé les axes principaux; maintenant, on les détermine ordinairement par les trois conditions

SarDm 3= o, S^sDm^^o, SjzDm =^ o.

30. Puisqu'on est assuré, par l'analyse de l'art. 27, que l'équation en s (art. 25) a ses trois racines réelles, il sera toujours facile de les trouver, en comparant cette équation dégagée de son second terme, avec l'équation connue

iv' — "ir^x — ir' cosç = o,

SECONDE PARTIE. — I,A DYNAMIQUE. , a65

dont les trois racines sont

On aura ainsi les trois valeurs de s que nous désignerons par s, s', s", et les valeurs correspondantes w, m', u". Et si l'on désigne de même par A, A', a" les angles que les trois axes principaux font avec l'axe des x, par u» ^' , mles angles qu'ils font avec l'axe des j, et par v, v' , v" ceux que ces mêmes axes font avec l'axe des s, on aura, par les art. 24 et 2S,

et l'on aura des expressions semblables en marquant les lettres A, ,«, v, s., u d'un trait, ou de deux. Ainsi la détermination des trois axes principaiix pourra toujours s'effectuer par ces formules dans tout corps solide de figure quelconque, homogène ou non, pourvu qu'on connaisse les valeurs des quantités^, g, h, l, m, n pour une position quelconque donnée du corps, relativement aux axes fixes des x, j, z.

En substituant ces valeurs de cosA, cos^, cosf dans les trois équations de l'art. 22, on aura les valeurs des moments A, B, C qui seront nécessaires pour faire tourner les corps avec une vitesse constante donnée 9, autour d'un axe fixe dans l'espace, dont la position sera donnée par les mêmes angles A, /-t, v, et qui sera en même temps un des trois axes principaux du corps, selon qu'on prendra pour s ex u l'une des trois racines de l'équation en s.

51. Comme ces trois axes sont toujours perpendiculaires entre eux, on pourra les prendre pour les axes des x\ y' , z' dans les formules de l'art. 20. On aura ainsi, par la nature de ces axes,

'i^x'y'Qm ^= o, Sx'z'Dm := o, Sj'z'Dm ■=■ o;

et si l'on fait

/' :^ Sx'^Dm, m' ^ Sj'^Dm, n' = ^z'-Dm.

les trois équations de l'article cité prendront cette forme très-simple :

par lesquelles on a tout de suite les vitesses de rotation ■\' , w', (^' autour des trois axes principaux.

C'est ici le lieu de démontrer la proposition que nous avons indiquée dans Fart. 19. En effet, en faisant A = o, B = o, C=i o, on aura aussi (art. 20) ;V= o, B'= o, C'^= o; donc, les équations précédentes donneront -^' = o, en' =^ O, (p'= o, puisque les quantités /, m, n ne peuvent jamais être nulles pour un corps de trois dimensions. D'ovi l'on doit conclure qu'il ne peut y avoir de mouvement de rotation si les moments primitifs sont nuls.

Quand, parmi les trois moments A', B', G', deux sont nuls, comme B' etC', ce qui a lieu lorsque l'impulsion se fait dans le plan des /'z', les deux vitesses de rotation &i, jp seront aussi nulles, et le corps tournera autour de l'axe principal des x' avec la vitesse 4'- Or, par les formules de l'art. 20, on a

A cause des équations de condition entre les quantités a, (3, y, s(', etc. ; donc, faisant B'= o, C'= o, on aura

A' ^ y'(Â^:rBM^~c^,

et, par conséquent, constante ; donc, par la première équation, la vitesse 4' sera aussi constante.

52. A l'égard des valeurs de /', m', «', il sera facile de les déduire dft celles de/, m, n,J\ g-, h; car les expressions Ae x,y^ zen x' ,y' , z\ en vertu des équations de condition {art. 10, sect. III, V^ partie), donnent réciproijuement

x' =^ ax -^ a y -|- « " s ,

z/r= yx -h -y'/ H- y" z.

SECONDE PABTIE. — LA DYNAMIQUE. afij

Or, en pienant les axes de&x',y', z pour les axes principaux, on voit, par l'art. 21 , que les quantités «, «', k" sont identiques avec cos A, ces «, «"OS v, et que, pareillement, j3, |3', f3" seront identiques avec cosa', cosm', cos y', et 7, 7', ■)'" avec cosa", cos^", cosv". Ainsi, en substituant les valeurs de ces cosinus données ci-dessus (art. 50), on aura , / ___ 3; -H .'/ + az

d'où l'on tirera , en carrant et intégrant, après avoir multiplie par Din ,

'm -\- II''

'/z-H 25' A + 2u'^' + is'i

^rti-hit"^

On trouve dans la plupart des Traites de Mécanique la détermination des axes principaux dans différents corps; dans ceux dont la forme est symétrique, l'axe de figure est toujours un des axes principaux : on peut trouver ensuite les deux autres par la formule de l'art. 27.

^^ \ . -~ Propriétés relatives aux forces 'vives.

53. En général, de quelque manière que les différents corps qui composent un système soient disposés ou liés entre eux, pourvu que cette disposition soit indépendante du temps, c'est-à-dire que les équations de condition entre les coordonnées des différents corps ne renferment point la variable t, il est clair qu'on pourra toujours, dans la formule générale de la Dynamique, supposer les variations h'x, S'y, Sz égales aux différentielles dx, dy, dz, qui représentent les espaces effectifs parcourus par les corps dans l'instant dt, tandis que les variations dont nous parlons doivent représenter les espaces quelconques que les corps pourraient parcourir dans le même instant, eu égard à leur disposition mutuelle.

yGoosle

Cette supposition n'est que particulière, et ne peut fournit', par conséquent, qu'une seule équation ; mais étant indépendante de la forme du système, elle a l'avantage de donner une équation générale pour le mouvement de quelque système que ce soit.

Substituant donc dans la formule de l'art. S (section précédente), à la place des variations Sx, Sy, Sz, les différentielles dx, df, dz, et, par conséquent aussi, les différentielles dp, dq, dr, etc. , au lieu des variations é'p, S'q, h-, etc. , qui dépendent de S'x, Sj, S'z, on aura cette équation générale pour quelque système de corps que ce soit,

{ -^^^, -^ h Pd/j -+- Qdq H- Kdr -\- . . . \ tn = o.

54i. Dans le cas où la quantité Vdp -\- Qdq -h Rdr -h ... est intégrable, lequel a Heu lorsque les forces P, Q, R, etc. , tendent à des centres fixes ou à des corps du même système, et sont fonctions des distances/?, q, r, etc., en faisant

Pdp H- Qdq -h Rdr -h . . . = dll,

l'équation précédente devient

s (^ -^ + duj m = o,

dont l'intégrale est

dans laquelle H désigne une constante arbitraire, égale à la valeur du premier membre de l'équation dans un instant donné.

Cette dernière équation renferme le principe connu sous le nom de Con- .servatwn des forces Dwes . En effet, dx"^ -\- 4k*+ dz^ étant le carré de l'espace que le corps parcourt dans l'instant dt, — -^ ^ sera le carré de sa

. .dx'^+dy^-'rdz'' ^ ■ r\ c- / dx^-i-dv^-h dz^\

Vitesse, et - - - ^ m sa lorce vive. Donc, S f —^-^ — j m sera

la somme des forces vives de tous les corps, ou la force vive de tout le système ; et l'on voit, par l'équation dont il s'agit, que cette force vive est égale à la quantité aH — aSlIm, laquelle dépend simplement des forces accélé-

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3.6y

ratrices qui agissent sur les corps, et nullement de leur liaison mutuelle, de sorte que la force vive du système est à chaque instant la même que les corps auraient acquise si, étant animés parles mêmes puissances, ils s'étaient mus librement chacun sur la ligne qu'il a décrite. C'est ce qui a fait donner ie nom de Conservation des forces Dwes à cette propriété du mouvement,

35. Ce principe a lieu aussi lorsqu'on rapporte les mouvements des corps

à leur centre de gravité ; car, en nommant comme ci-dessus (art. 3), x' ,y' , z' les trois coordonnées dn centre de gravité, et faisanta; = a;'H-Ç,j=)^'--l-M, s =; î' -(- ^, les coordonnées 0, «, ^ auront leur origine dans le centre de gravité. On aura ainsi

-^JT. 'n^

■ ■ •^-,^ ■ hm

dx cdt dv c'd-n dz a ^K cy dl^-\- d-n^-i- dt^

dt dt dt dt dt dt ■i.di}

Par la nature du centre de gi'avité, on a (article cité)

c- dt a dri c ^C

S-72m=:=o, S-r-ni=o, b-j^m:^o.

dt ' dt ' dt

Donc l'équation précédente étant différentiée et retranchée de celte de l'art. 35, on aura

dx'd'^x'-hdv'd^f'-hdz'd^z' r, o / d'^d^E + dvd^-/i -h dtd^t\