DYNAMIQUE
3S équations
suivantes :
eîT
(ÎT
lé
dont le nombre sera, comme l'on voit, égal à celui des variables.
Ces équations doivent avoir lieu aussi dans l'état d'équilibre, puisque le système y étant une fois, y resterait toujours de lui-même; or, dans i'éqnilibre on a constamment œ = a, y ^b, z =^ c, x' = 0/, etc., par l'hypothèse; donc Ç:= o, 4 = Oi ip = o, etc., ainsi que -^ = o, ^ ^ o, etc., et --j-l = o, etc. Donc les termes f/. 3-T-> d.-j-Ty, etc., seront imis, et les termes -jy, ,-.-? -3—) etc., se réduiront à Hi , Ha, H3, etc. Par conséfjuentj
on aura
Hi=:o, H2 = o, H3 = o,...;
ce sout les conditions nécessaires pour que a, b, c, a' , etc. , soient les valeurs de X, y, z, x', etc., pour l'état d'équihbre, comme on le suppose. En effet, il est visible que
^V :=. S{Vdp + Q(/ry ^- R(/r -h . . . ) m
exprime la somme des moments de toutes les forces Pm, Qm, Rm, etc., appliquées à tous les corps m du système, et qui doivent se détruire mutuellement dans l'état d'équilibre; donc, par la formule générale donnée dans la sect. II de la I™ partie, il faudra que l'on ait dV = o, par rapport à chacune des variables indépendantes ; par conséquent,
ÊJL— ^ ^
seront les conditions de l'équilibre, lequel étant supposé répondre à ^ = o,
3a6 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
■^^o; (p =^ o, etc., on aura
Hi^o, 112 = 0, H3^o,
De sorte que les premières dimensions des variables 0, 4) ?) etc., dans l'expression de V, disparaîtront toujours.
Substituant donc dans les équations générales les valeurs de T et de V, et faisant Hi, Ha, H 3, etc., nuls, on aura, pour le mouvement du système,
'' = (')Âf + ('.^)-if-+-(''3)ïl+--- -i-[i]5 + [i,3]4 + [i,3]?+ ...,
= WS*-'
(■'3)§+( = ,3)îf +
équations qui, étant sous une forme linéaire avec des coefficients constants, peuvent être intégrées rigoureusement et généralement par les méthodes connues.
4. On peut supposer d'abord que les variables, dans ces sortes d équations, aient entre elles des rapports constants, c'est-à-dire que l'on ait
par ces substitutions, elles deviendront
lesquelles donnent -j-| -\- k^ ^=.0, en faisant
Le nombre de ces équations est, comme l'on voit, égal à celui des inconnues /' g, etc. , k ; par conséquent, elles déterminent exactement ces inconnues ; et comme, en retenant pour premier membre le terme k, et le multipliant respectivement par le dénominateur du second, on ii des équations linéaires en/", g, etc., on pourra les éliminer par les méthodes connues, et il n'est pas diificile de voir, par les formules générales d'élimination, que la résultante en k sera d'un degré égal à celui des équations, et, par conséquent, égal à celui des équations différentielles proposées ; de sorte que Ton aura pour k uii pareil nombre de différentes valeurs, dont chacune étant substituée dans les expressions dey, g, etc. , donnera les valeurs correspondantes de ces quantités.
Maintenant l'équation -jy -h k^ = o donne par l'intégration
g = Esin((\/Â-1- s),
E, e étant des constantes arbitraires ; ainsi, comme on a supposé 4 =/%-, tp = g^j etc., on aura aussi les valeurs de 4) ?> ^tc.
Cette solution n'est que particulière, mais elle est en même temps double, triple, etc., selon le nombre des valeurs de k; par conséquent, en les joignant ensemble, on aura la solution générale, puisque d'un côté la somme des valeurs particuhères de §, 4) ?> etc., satisfera également aux équations différentielles, à cause de leur forme linéaire, et que de l'autre cette somme contiendra deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a d'équations, et, par conséquent, autant que les intégrales complètes peuvent en admettre.
Dénotant par k' , k'\ k'", etc. , les différentes valeurs de k, c'est-à-dire les racines de l'équation en ^"j et par/"', g', etc.,/", g'\ etc.,/'"', g'", etc., etc., les valeurs correspondantes de/", g, etc.; et prenant un pareil nombre de
.inS MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
coefficients arbitraires E', E", E'", etc., et d'angles aussi arbitraires s', s", s'", etc. ; on aura ces valeurs complètes de |, 4j ?) ^^*^- >
g = h:'sm{t\/F^i')^- F,"sin(i\/F~f-s")+ E"'sm{t\/¥'-^-<"')^.... 4==/'E'sin(ïy'Z-'H-î')+/''E''sin(ï\/F'-+-e'')+/'''E'''sin(ï\/A-'''-+-î''')-h.-., ■p =4'-'E'sin(ï\//''H-É')+ g'"E"ftin((\/F+=")+ g-"'E"'s)n{(\/A-'"-t--Ê"')-4- .. . ,
dans lesquelles les arbitraires E', E", E'", etc., s', s", e"', etc., dépendront des valeurs de Ç, 4) ?*? ^^c., et -—» ~ , -X-, etc., lorsque ^ est éfçal à o, et, par conséquent, de l'état initial du système.
En effet, si dans les expressions trouvées de ^, 4i "Pi etc. , on fait t =^o, et qu'on suppose données les valeurs de Ç, 4' "Pi ^tc., on aura des équations linéaires entre les inconnues E'sins', E"sinÉ", etc., par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues. De même, si Ton fait t = o dans les différentielles des mêmes expressions, et qu'on regarde aussi comme données les valeurs de -jI^j -^■> -^i etc., on aura un second système d'équations linéaires entre E' cosê', E"cosé", etc., lesquelles serviront à leur détermination. De là on tirera aisément les valeurs de E', E", etc., ainsi que de tang b', tang s", etc. , et enfin celles des angles mêmes s', ï", etc.
Mais voici un moyen plus simple de déterminer ces inconnues directement et sans les embarras de l'élimination.
H. Je remarque qu'en ajoutant ensemble les équations différentielles de Tart. 5, après avoir multiplié la deuxième pary, la troisième par g, et ainsi de suite ; et faisant, pour abréger,
on a l'éqaation
d'^t d^'li d^ff
