En effet, on a, en général

D.xy =:^ xJ)Y-\-yJ)a;-\~ D^Dj

=:= [x -h Bx)y)f -j-jD^ = x^By -\-yDa:,

en dénotant par -r^ le terme qui suit x dans la série des termes consécutifs x, .X H- Dx, etc. Donc, en passant des différences aux sommes, on aura

Syï)x ^^ X;/ — Sx^Dj.

On trouverait de la même manière

SyU^x =iyDx — x,Dj + Sx^^D^y,

et ainsi de suite, x, x, , x^^ , etc. , étant les termes qui se suivent dans la niénie série.

Pour compléter ces sommations , il faudra rapporter les termes hors du signe S, au dernier point de l'intégrale finie SyDx, et en retrancher les mêmes termes rapportés au premier point. Ainsi, en marquant par un zéro et par un i placés au bas des lettres les termes qui se rapportent au premier et au dernier point, on aura ces sommations complètes :

SyT)x = x.y^ — ■ï-'ojo — Sa;,Dy, SyD^x =:yjDxi — x^^,T)y^

— jgD.x'„ -h ^,0/0 + S^,^Dj,

Lorsque la caractéristique S indique des sommes totales d'un nombre de termes donné, il est clair qu'on peut, à la place des termes x^Df, x^^Dy sous le signe S, prendre les termes précédents, que nous dénoterons par xD^y, xD^^y, etc., en marquant d'un trait, de deux, etc., placés à gauche, les tennes ^^y, ,j qui précèdent j dans la série indéfinie, etc., „j', ^y, y, y ,

17. Cela posé, mettons dans les formules précédentes %x à la place de x, et "PDa; à la place de j, on aura ces transformations:

SfDxDSa::= (TDxSa;),.— (*'D^Sx)„ — SâxD,(TDx);

et, de même,

S^DjDÔj ^ (iFDjâj),.— (TDjâ/)^

— SâjD,(«FDr),

S'FDsDâs ^ (-f-DsSz), ~ (wDz.ôs),

— SSzD,(^Dz),

et i'on fera ces substitutions dans l'expression de o V.

Si le premier corps et le dernier sontsupposés fixes, les variations Ôa;,, iy^, Szq) ^^ ^^(> ^Ji' ^^i' qui s'y l'apportent, seront nulles. Nous adopterons d'abord cette hypothèse qui simplifie les formules, et nous aurons, en conséquence,

^Y = S^uDm ~ iioxD,{W Dx)

~SSjD,(¥Dj) — SèzD,{W\yz).

En général, comme il faut que les variations disparaissent toujours, si le premier ou le dernier corps, ou tous les deux, n'étaient pas fixes, il faudrait iupposer ia valeur de W nulle au commencement ou à la fin. On aurait ainsi, à cause de y-' = 77-! la condition à remplir <!>„ = o, ou *. = o, si le premier ou le dernier corps est supposé mobile; et si tous les deux étaient îiiobiles, on aurait les deux conditions ai„ ^= o et $,. = o.

18. La variation SV étant réduite à cette forme simple, les équations générales de la sect. IV (art. 10) étant rapportées aux variables œ, y, z de chacun des corps du système, donneront pour ces variables les trois équations suivantes, dans lesquelles je remets ^ au lieu de ^'D^ :

-TT-Dm + ^r— Dm -

di' âjc-

j-f Dm -f -i— Dm-

dt^ ôy

d'z ^ êUr^

■~- Dm + ^ Dm -

i-Zf- Os

ïjes équations sont rigoureuses, quel que soit le mouvement des corps; mais lorsque ces mouvements sont très-petits, les équations se simplifient eA deviennent linéaires, comme nous l'avons vu plus haut (g 1).

SECONDE PABTIE. — LA DÏNAMIQIIE. 3^3

19. Supposons que dans l'état d'équilibre du système, les coordonnées X, j, z deviennent a, b, c, et qu'elles soient dans le mouvement a--\- Zb -^Yf,c->r-^, les quantités |, ti, pétant très-petites. La fonction ïi deviendra

n + -j- ^~h ~7j- n-h -j- Ç. Ainsi , en regardant dorénavant II comme une

^T] nV\ rîTT

simple fonction de a, b, c, les trois différences partielles -^rr ' - - > —- pour-

ront s'exprimer ainsi :

fladb daeïc "'y

dU f dm ç dm d^U „\

dS"^ \d^^ ^ ^ ^6' " '^'' dbdc ^j'

~d^ ^ \d^di ^ "^ dhdc " ^ d^ ^j ■

Par les mêmes substitutions de a H- §, è -h n, c -h ^, au lieu de .t, j', s, les différences Dx, Dy, Dz deviendront

A l'égard de la quantité <S>, qui est supposée fonction de Dj-, si Ton tait, pour abréger,

on aura d'abord

ensuite, si l'on nomme F ce que devient la fonction it> lorsqu on y chani;e D,-. en D/', et qu'on fasse ^~rr2. = yc,.^ on aura, par le développement,

"^ ^^ W D/ ^ D/ TV ^ p/ D/; ■ et, par conséquent,

D. - IV '^ ~W [ïïf !>/ ^" D/ D/ + D/ Dy j ■

20. On fera ces substitutions dans les trois équations trouvées ci-dessus, et comme dans l'état d'équilibre les variables ?, «, Ç sont supposées nulles.

il Éiudi'a que ces équations se vérifient dans cette hypothèse. Ainsi les termes constants devront se détruire, ce qui donnera d'abord les trois équations de condition

'^n^, T. /FDa\

dn „ „ /FDo\

Ces équations donneront les valeurs que les coordonnées a, h, c doivent avoir dans la situation de l'équilibre; et il est facile de voir qu'elles représentent d'une manière générale celles que nous avons H'ouvées dans la sect. V delà !"' partie, pour l'équilibre de plusieurs corps liés par un fil extensible ou non.

21. On aura ensuite, entre les variables §, h, Cet t, les trois équations suivantes, dans lesquelles je fais, pour abréger,

lia

1 Dm -^

rf"n

' dadb'

d-a '•^ITdc

Ç)Dm

'~Ga

d' df

"Dni +

'dm

\dadk

' + dldc

;Ç)Dm

'—Gb

'mh-

iDim-

Id'U .

rf"n d'Tl.

dbdc' ^ dc'^'

;)Dm

— Gc

Ce sont ces équations qui serviront à déterminer les oscillations du système supposées très-petites ; elles sont du genre de celtes qu'on nomme à différences finies et infiniment petites, et comme elles sont à coefficients

constants, elles sont susceptibles de la méthode générale exposée dans le paragraphe précédent.

22. Les équations de l'art. 20, qni renferment les conditions de l'équilibre, donnent, en passant des différences aux sommes,

A, B, C étant trois constantes arbitraires; d'où l'on tire tout de suite

J' = \/(s'iSDm + A)V(s;;fï;;:rB)V(sfDm + Gy.

Lorsque la quantité F est une fonction donnée de Df, ce qui a lieu quand on suppose que les corps s'attirent ou se repoussent par une force * fonction de leurs distances D^, la valeur précédente de F donnera la valeur de Ef/qui doit avoir lieu dans l'état d'équilibre.

Mais lorsque les distances D^ sont supposées données et invariables, alors la quantité $, qui tient lieu du multiplicateur A (art. 14), est inconnue, et doit se déterminer par la formule précédente; mais, dans ce cas, on a

D.. = Vf, et, par conséquent (art. 19},

ce qui simplifie les équations de l'article précédent.

'23. L'esprit de la méthode de l'art. 4 consiste à supposer que chaque variable soit exprimée par une même fonction de t, multipliée par une quantité différente pour chaque variable.

Si l'on désigne par S cette fonction, on fera

et, après avoir substitua ces valeurs dans les équations de l'art. 21 , on verra aisément que, pour vérifier ces équations, il est nécessaire que la variable 9

Mec. anal. I. 44

346 MÉCANIQUE AîVALVTIQtJE.

?îoit déterminée par une équation de la forme

i:ai- alors, en mettant pour ™ sa valeur — ^â, et divisant tous les teintes par 9, ou aura ces trois équations aux différences finies:

dadb dadc

r^ rFDX ., ,/a'DX è'DY c'\>Z\

*Yn">=(3jsX+^Y+;^/)D„,

"' L Dy l, D/ + D/ + D/ j\

m. r. 'équation en 9 s'intègre facilement; elle donne 9=^ Esin (t\/Ji-\-s) ,

E et s étant deux constantes arbitraires.

A l'égard des équations en X, Y, Z, elles ne sont en général iritégrable^ en termes finis, par les méthodes connues, que lorsqu'elles sont à coefiicients constants ; mais si l'on développe les différences finies marquées par D, elles deviennent de la forme (art. 16) AX, + BY, -f- CZ, -+- A'\ -+- B'Y + C/Z + A^ X -h B; Y + C/ Z = o ;

les coefficients A, B, C, A', B', etc., sont constants ou variables, mais indépendants de t, et la quantité k n'entre que dans les valeurs de A', B', C, et seulement à la première dimension.

Si maintenant on désigne par X„, X,, X^, X3,, etc., les valeurs consécutives de X, en commençant par la première, qui répond au premier corps du système, et de même par Y„, Y,, Y^, Y^, etc., Z,,, Z,, Z,, Z,, etc., les valeurs consécutives correspondantes de Y et Z, et qu'on substitue succès-

SECONDE l'ARTIE. — LA DYNAMIQUE. 347

sivemeiit ces valeurs dans les trois équations réduites à la forme précédente, il est aisé de voir que les trois premières donneront les valeurs de X^, Y,, Z^ en fonctions linéaires de X,,, Y^, Z,,, X,, Y,, Z, ; que les trois suivantes donneront Xj, Yj, Z., en fonctions linéaires de X^, Yj, Zj, X,, Y,, Z,, lesquelles, par la substitution des valeurs de X^^ , Y^ , Z^ , deviendront aussi des fonctions linéaires de X^,, Y^, Z,, X,, Y,, Z,, et ainsi de suite.

Donc, en général, les valeurs de X,,^,, Y,,.,.,, Z„^, seront de la forme

AX„ + BY„ + GZ„ + A'X, 4-B'Y, +G'Z,,-

et il est facile de s'assurer, par le calcul, que les quantités A, B, C seront des fonctions rationnelles et entières de k de la dimension /i — a, et que les quantités A', B', G' sont de pareilles fonctions de la dimension )i — i .

Nous avons supposé (art. 17) que le premier et le dernier corps du système étaient fixes ; le premier corps appartient à l'indice o, et si l'on désigne par n le nombre des corps mobiles, le dernier corps, qui doit être fixe, appartiendra à Tindice n-\- i . Il faudra donc que l'on ait

X^ = o, Y„ = o, Zf, ^^ o, X„^, = o, Y,j^, = o, Z,j,., = o,

ce qui donnera entre X,, Y,, Z, trois équations linéaires de la forme A'X, -h B'Y, -h C'Z, = o, dans lesquelles les coefficients A', B', C seront des fonctions rationnelles et entières de k de la dimension n.

En éliminant les quantités X,, Y,, Z,, on aura une équation en k du degré 3n, nombre des inconnues X, Y, Z, et qui aura, par conséquent, 3ft racines.

Les mêmes équations donneront les rapports entre les trois quantités X, , Y, j Z, ; de sorte qu'on pourra prendre à volonté la valeur d'une de ces quantités. Comme ces rapports se trouveront exprimés par des fonctions rationnelles de k, on pourra exprimer les valeurs des trois quantités X, , Y, , Z, par des fonctions rationnelles et entières de k, et, par ce moyen, les inconnues X, Y, Z seront aussi exprimées, en général, par des fonctions connues, rationnelles et entières de /(.

*iS. Nous dénoterons par k' , k", k'", etc., k''"' les différentes racines de l'équation en k, dont la résolution doit être supposée connue ; et nous dénoterons pareillement par X', X", X'", etc. , Y', Y", Y'", etc. , //, Z", 71", etc. ,

348 MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

les valeurs correspondantes des quantités X, Y, Z, qui résultent de la substitution de ces différentes racines à la place de k. Donc, puisqu'on a trouvé (art. 25, 24)

g^XEsin(ï\/Â + e), « = YEsin(/y^ + s), Ç= ZEsin(#v/Â- + ê),

en substituant successivement les différentes valeurs de h, et en prenant différentes constantes arbitraires E et e, on aura autant de valeurs particulières de Ç, H, Ç, dont la somme donnera les valeurs complètes de ces variables, par la nature des équations linéaires.

Ces valeurs particulières de ^, «, ^sont analogues à celles qui représentent

les petites oscillations d'un pendule dont la longueur serait | (art. 11), pourvu que k soit une quantité réelle et positive ; et le mouvement de chaque corps sera composé d'autant de pareilles oscillations qu'il y aura de valeurs différentes de ^ ; de sorte que si toutes ces valeurs sont incommensurables entre elles, il sera impossible que le système reprenne jamais sa première position, à moins que les valeurs de g, h, Ç ne se réduisent aux valeurs particulières qui répondent à une seule des racines k. Dans ce cas, en faisant ( =: o dans les formules précédentes, on aura XEsins, YEsins, ZEsins pour les valeurs

de ^, H, '(,, et XE cos é, YE cos i, ZEcos ? pour celles de ^^ ' j~' ^' Ainsi, pour que ce cas puisse avoir IJeu, il faudra que les déplacements primitifs g. H, f^, ainsi que les vitesses initiales j7' j^'"y ' soient proportionnels à

X, Y, Z ; et il y aura autant de manières de satisfaire à ces conditions, qu'il y a de valeurs différentes de k.

26. Si l'on désigne, par des traits supérieurs, des constantes arbitraires différentes, on aura

g = X'E'sin(ï\/^'^-f')+X"E"sin(^\/F'-h/) + X"'E"'sin(^v'r+f"')-^..., «^Y'E'sin(ïv/^-j-s') + Y"E"sin(ï\/F-j-Ê") + Y'"E'"sin(ï\/^+/') + .... ^=Z'F/sin(VF+ê')+Z"E"sin(ïv^'+ê")+Z'"E"'sin(iv/r -h/') + ...,.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. S/jg

pour les valeurs complètes des variables g, «, Ç, qui représentent les oscillations cie chacun des corps du système donné, quel que soit leur état initial.

On peut représenter ces valeurs d'une manière plus simple, en employant le signe 2 pour exprimer la somme de toutes les valeurs correspondantes aux différentes valeurs de k; on aura ainsi

g^i.[XEsin(ïv^--4-.)],

n =2.[YEsin((v/^-h s)],

C=2.[ZEsin(ï^Â + s)],

et l'on aurales expressions particulières des variables §1, ", , Ç^, , faiH^, £^,,etc., pour chacun des corps du système, eu changeant, dans les précédentes, X, Y, Z, en X,, Y,, Z,, X,, Y,, Z,, etc., et prenant pour E et s différentes constantes arbitraires E, , R^, etc. , s, , s^, etc. , qui dépendent de l'état initial du système.

27. Pour déterminer ces constantes de la manière la plus simple, je reprends les équations en ^, h, ^de l'art. 21, et je les ajoute ensemble, après avoir multiplié la première par X, la seconde par Y et la troisième par Z; je prends ensuite la somme de toutes ces équations ainsi composées, relativement à tous les corps du système, et je dénote cette somme par la caractéristique S ; si l'on fait attention que cette caractéristique est indépendante de la caractéristique d des différentielles relatives à t, on aura l'équation

Yh-£|z)?D"'

-hS