DE

SYD

fFD»

ê'D, , c'Df

SZD,

J'D„ c'Df + »/ + D/

35o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Dans cette équation, les termes qui contiennent des différences marquées par D sous le signe somiiiatoire S, sont susceptibles de réductions analogues à celles des intégrations par parties, et dont nous avons donné le type dans l'art. 16. Pour cela, considérons en général un terme quelconque de la forme SXD, (VD^) ; nous aurons, par les réductions de l'article cité, en faisant attention que les quantités X et Ç sont nulles au commencement et à la lin des intégrations marquées par D (art. ^4) ,

SXD,(VDe) — — SVDÇDX = Se,D(VDX).

Or S^^D(VDX) est la même chose que SÇD,(VDX), en prenant à la place du terme ?,D(VDX) celui qui le précède.

Donc, en générai, on aura

SXD,(VD^)^S|D,(VDX).

et il en sera de même des termes semblables. Ainsi l'équation précédente deviendra de la forme

dans laquelle les quantités désignées par (X), (Y), (Z) contiendront les mêmes termes qui composent les seconds membres des équations de lart. 25 , de manière que ces équations donneront

(X) =tXDm, (Y) = AYDm, (Z) =*ZDm, d'oii il suit que l'équation ci-dessus deviendra

J. S(X£ + Y nH-Zg)Dm

dt'

-+- *S(X$ + Y» + Zf)Dm = o,

laquelle donne tout de suite, par l'intégration,

S(XÇ+ Y,-hZJ)Dm=Lsin((\/î+-A),

L et A étant deux constantes arbitraires.

SECONDE l'ABTIE. — LA DYNAMIQOK. 35 1

28. Il est facile de voir, par la nature du calcul, que si l'on substitue dans cette équation pour k une des racines de l'équation en k que nous avons dénotées par A' , k", k'" , etc. (art. 25), on devra avoir un résultat identique avec les expressions de Ç, h, Ç de l'art. 26, de sorte qu'en substituant ces mêmes expressions dans l'équation précédente, elle devra devenir absolument identique pour toutes les valeurs de k.

On aura donc ainsi l'équation identique

( X2[XEsin(ïv^ + .)] J s\ -h Y z[YEsm {t\fk ^ i)] Dm=^ Lsin((v^''' H- ^), (-h Z2[ZEsin((\/Â-f-ï)] ]

pour chacune des valeurs k' , k'\ k'" , etc., de k; et comme cette identité doit avoir Heu indépendamment de la valeur de ï, il ne sera pas difficile de se convaincre que tous les termes qui contiendront le même arc t)Jk devront être identiques dans le premier et dans le second membre de l'équation ; d'où il suit d'abord qu'on aura nécessairement A = s pour toutes le valeurs de A et de e.

Ensuite, si l'on fait attention à la valeur des signes sonmiatoires S et 1, dont le premier, S, représente la somme des quantités sous le signe qui appartiennent à tous les corps du système, et que nous avons dénotées par des nombres placés en forme d'indices au bas des lettres (art. 24), et dont le second, 2, représente la somme des quantités semblables qui répondent à toutes les racines k', k", k'", etc., A""', et que nous dénotons par des traits supérieurs {art. 2o) , on trouvera, par la comparaison des termes affectés des mêmes sinus, l'équation

£S(X^-+~Y=+Z=)Dm^L.

Doue on aura, en général,

Esm (^y/^ + .) = s{^^:^Y^^^y^~^^ et, par conséquent, par l'art. 27,

. / /j » S(Xt + Yn + Z{)Dm

E sm ((y-* + ,) = -^x ^y.^z.)D„ >

équation qui aura Ueu pour toutes les valeurs de k.

29. Soient maintenant, lorsque t ^^ o, ^ ^ a, «= B, (^ ^^ 7, et -j^!=:«, -j^ = j3,-j^^=7; ces six quantités seront données par l'état initial du système: si donc on les introduit dans l'équation précédente et dans sa dilTérentielle relative à t, en y faisant ï =^ o, on aura les valeurs suivantes des constantes arbitraires :

nsin.— S(X' + y+Z')Dm '

„ S(X« + Y/3 + Z7)Dni

r- cos s = ~ —

jff.S(X'+ï' + Z')Din

Donc enfin, si l'on substitue ces valeurs dans les expressions de ^, k, Ç de l'art. 26, on aura

/X S(X. + Y|3 + Zy)Bm „\

S — ^ l S(X>-l-ï'+Z'lDm <=OS î V*

S(X'+ï'+Z')Diii ,<- XS(X» + Y|3 + Zy)Dm . \

„ ^ , /YS(X« + Yp + Zy)Dm ,^\

/ YS(X» + Y^+Zy)Dm . \

+ Hv«.S(X- + Y'+Z.)D„,™«V*j'

Ç — -^1, S(X'+Y-+Z')Dm <:o*'V*j / ZS(X.+Y^ + Z,)D„. ^^^y

Ces formules, remarquables par leur généralité autant que par leur simplicité, renferment la solution de plusieurs problèmes dont l'analyse serait fort difficile par d'autres méthodes. Nous allons en faire l'application à deux problèmes déjà résolus dans diftérents ouvrages, mais d'une manière plus ou moins incomplète.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. a.)0

§ IIl, OÙ l'on applique les formules précédentes aux 'vibrations d'une corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d'un fil inextensible, chargé d'un nombre quelconque de poids, et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement.

50. Les expressions des variables ^, m, ^(\»e nous venons de trouver, se simplifient beaucoup lorsque, dans les équations différentielles de l'art. 2 1 , les variables dont il s'agit se trouvent séparées. Alors les variables X, Y, Z setrouvent aussi séparées dans les équations aux différences finies de l'art. 25 ; et chacune de ces équations donne, par le procédé de l'art. 24, une équation particulière en k du degré m. Si l'on dénote par k, ki , ki les valeurs des k qui répondent aux quantités X, Y, Z données par ces trois équations, et que l'on conserve les dénominations de l'article précédent, les expressions de Ç, M, Çse réduiront, dans le cas présent, à celles-ci :

■ -K^5rcos.v/^T)^.(,-f^sin.^.^),

51 . Ce cas a lieu premièrement lorsque les corps sont supposés placés en ligne droite dans l'état d'équilibre; car, si l'on prend cette ligne pour l'axe des X, les ordonnées b et c deviennent nulles, ainsi que leurs diftërences \ib, Df, et les équations de condition de l'art. 20 exigent que l'on ait

-^g- = o, -^ = o, c'est-à-dire que les forces perpendiculaires à Taxe soient nulles. On aura donc aussi ^^^ = o, -^^^ = o, etc. , et les équations de l'art. 2 1 deviendront, à cause de a' :=:^ i , è' = o , c' := o , et de G ^= F — F',

Par conséquent, les équations de l'art. 25 se réduiront à celles-ci r

da')

XDin +- D,