C'est une chose digne de remarque, que la même formule

0— $(x-[- kt)-+- W(œ — /it),

qui satisfait à l'équation en différences partielles,

satisfait aussi à la même équation en différences finies, qu'on peut représenter par

pourvu qu'on y suppose Dx = kDt, et Dt constant. En effet, on a, eu ne faisant varier que Vx,

D^$(,r-1-Â:() = 't(x-+-D,T -i- kt)— 2<i{x -h kt) -h li» {œ — Dx -\- kt),

et en ne faisant varier que le t,

expressions qui deviennent égales en faisant T)x =^ k\)t; et l'on trouvera la même chose pour la fonction W [x — kt).

Dans l'infiniment petit, la condition dx ::=:^ kdt disparaît, et l'intégrale a toujours lieu; la raison en est qu'alors l'expression ~, qui paraît représenter la différence seconde de § divisée par le carré de la différence de /, n'est plus qu'un symbole qui exprime une fonction simple de t dérivée de la fonction primitive ^ et différente de cette fonction, laquelle est tout à fait indépendante de la valeur de dt. Il en est de même de l'expression --r-{, par rapport à x\ c'est dans ce changement de fiinctions que consiste réellement le passage du fini à l'infiniment petit et l'essence du calcul difterentiel .

SECONDE PAKTIE. — LA DYNAMIQUE. SSy

64. J'ajouterai encore ici une remarque qui peut être utile daus plusieurs occasions ; elle a pour objet une nouvelle méthode d'interpolation qui résulte des formules de l'art. -48.

Nous avons vu que la formule

devient égale à x^ lorsque r = i , ti, 'S, . . . , n. Donc, si l'on a une suite de quantités a, , «^, a,, - . . , «„, dont le nombre soit n, on pourra représenter par la formule précédente un terme quelconque intermédiaire dont le rang serait marqué par un nombre quelconque r entier ou fractionnaire, puisqu'en faisant successivement r =^ i , 2, 3, ...,«, la formule donne a,, »^,

Le signe S indique la somme de tous les termes qui répondent à j^ ^ i , 3, 3, . . . , n, et le signe S la somme de tous les termes qui répondent à p = 1 , 2, 3, . . . , re, la quantité tt étant l'angle de deux droits.

Supposons qu'il n'y ait qu'un terme «, donné, on fera « = i , ,y ^^ i . p ^= I , et l'on aura pour l'expression générale de a^,

a, =: a, sin —

Soit « :^r= a , et les deux termes donnés a , , a^ ; on fera s = i , 2 , p = 1 , 2 , et l'on aura

|(A'sin^