TES

11 vie

ndra

~ dtdq,

"^^q~'^lkdq,'^\d^,y

y dp,

ou,,

nplaçan

ld't\ Id1\

. , , par

leui-i

i ïaleui

dqr

dtâq, \dqi)

rf'S

t'omparant les équations (17) e;l (ai), on conclut

dp, __d^ __ (dT\ dt dq, \dq,)

1 peut, en vPrlu des relations (i4)i enlever les parenthèses qui entourent enfin

C'est précisément la relation que nous voulions établir; on obtiendrait des valeurs analogues pour -j^i . . . , -—-. et il est prouvé, par conséquem, que toutes les équations du

mouvement sont satisfaites par le système dos relations (5).

L'idée de stibstîtuer à la fonction S de M, Hamiiton l'une c[uelconque des intégrales de l' équation à laquelle elle satisfait, est due à Jacobi (*). La démonstration a été développée par lui dans le cas d'un système sans liaisons. Plusieurs géomètres ont traité depuis la même question, mais je crois la démonâtralion précédente plus simple que celles qui avaient été données jusqu'ici,

M. Hamiiton nomme la fonction S, à laquelle se rapportent les calculs précédents , la fonction principale du problème. Il a considéré, en outre, une autre fonction qu'il nomme caractéristique, et que nous désignerons par V. Nous croyons devoir placer ici la définition de cette fonction V, et l'indication de sa propriété la plus importante. C'est elle qui s'est présentée d'abord à M. Hamiiton, et c'est en l'étudiant qu'il est, je croîs, le plus facile d'apercevoir les idées qui l'ont guidé.

La fonction V n'est autre chose que l'intégrale / dl. V mv^ que l'on considère dans le

principe de la moindre action, de telle sorte qu'en cherchant à démontrer ce principe, on peut être conduit, de la manière la plus naturelle, comme on va le voir, à la belle découverte de M. Hamiiton.

(*) Journal de M. Creile, tome XVII.

après !a notation adoptée dans cette JVotej on a

-p.q',)<lt\

on en déduit

à^l — i (p,âç\ -hp^Si^\-h . . . -+- p„â(}',}dt-{- j {^\âp,-\-<i'Jp,-h ... -^<]'Jp,.)dt; Jesigue <îse rapportant à la variation de toutes les constantes qui figurent dans ç,, iJî,..., <J,„ En intégrant par partie les termes de la première intégrale, et remarquant que " lit ^

-l-(pio"^i -+-p'.â(j^+ . . . +pjq.,]',-,

les indices o et f placés après les parenthèses indiquant qu'il faut y remplacer successive-' ment le temps par o et t, et faire la dift'érence des deux résultats. Or, d'après les équations diflërcntielles du mouvement, on a évidemment

en sorte que, dli étant constant en vertu du principe des forces vives, l'équation précédente devient

JV = — tâ}i+-ptâ<it -HpsiîÇï-H ■ . ■ •+■ p.,â(l„ — p" âq", — pl'^'jl — . . . —pî,âq',.

Si donc on considère V comme une fonction de ç,, ç^, . . . , q,„ q\, y°, . . . , ^' et de H, on aura

dV , dV , dV dV

rf,; = -^" ^;^-^----' i^^-P- dn = -'-

Ces équations peuvent être considérées comme la solution complète du problème proposé, qui sera, par conséquent, résolu si l'on parvient à déterminer la fonction caractéristique V; V satisfait comme S à une équation différentielle partielle dont une seule intégrale complète suffit pour résoudre le problème. Mais nous renverrons, pour l'étude de cette équation, au Mémoire de M. Jacobi, qui a traité avec développement le cas d'un système libre ; le cas d'un système à liaisons quelconques ne présentera aucune difficulté aux personnes qui auront étudié les propositions analogues démontrées plus haut, et relatives à la fonction S.

Miéc. anal. 1. 54

Nous ne pouvons indiquer ici aucune application particulière de la théorie qui fait l'objet de celte Note. On pourra consulter utilement plusieurs Mémoires de M. Liouville , insérés aux tomes XIV et XVI de son Journal, et dans les Additions à la Connaissance des Temps pour i85o.

{Note de M. J. Bertrand. )