PREMIERE PARTIE. — LA. STATIQUE

minées; or il n'est pas difficile de se convaincre que leur nombre doit toujours être égal à celui des quantités inconnues dans la position du système; donc on aura, par cette méthode, autant d'équations qu'il en faudra pour déterminer l'état d'équilibre du système.

C'est ainsi qu'en ont usé tous les auteurs qui ont appliqué jusqu'ici le principe des vitesses virtuelles à la solution des problèmes de Statique ; mais cette manière d'employer ce principe exige souvent des constructions et des considérations géométriques qui rendent les solutions aussi longues que si on les déduisait des principes ordinaires de la Statique : c'est peut-être la raison qui a empêché qu'on n'ait fait de ce principe tout le cas et l'usage qu'il semble qu'on en aurait dû faire, vu sa simplicité et sa généralité.

5. T.' objet de cet ouvrage étant de réduire la Mécanique à des opérations purement analytiques, la formule que nous venons de trouver est très-propre à le remplir. Il ne s'agit que d'exprimer analytiquement, et de la manière la plus générale, les valeurs des lignes /j, q, r, etc., prises dans les directions des forces P, Q, R, etc. , et l'on aura, par la simple différentialion, les valeurs des vitesses virtuelles dp, dq, dr, etc.

11 faudra seulement faire attention que, dans le calcul différentiel, lorsque plusieurs quantités varient ensemble, on suppose qu'elles augmentent toutes en même temps de leurs différentielles; et si, par la nature de la question, quelques-unes d'entre elles doivent diminuer, tandis que les autres augmentent, on donne alors le signe moins aux différentielles de celles qui doivent diminuer.

fjcs différentielles dp, dq, dr, etc., qui représentent les vitesses virtuelles des forces P, Q, R, etc., devront donc être prises positivement ou négativement, selon que ces forces tendront à augmenter ou à diminuer les lignes /j, q, r, etc., qui déterminent leur direction; mais comme la formule générale de l'équilibre ne change pas en changeant les signes de tous ses termes, il sera permis de regarder indifféremment comme positives les différentielles des lignes qui augmentent ou diminuent ensemble, et comme négatives les différentielles decellesqui varient en sens contraire. Ainsi, en regardant les forces comme positives, leurs moments Pdp, Qdp, etc., seront positifs ou négatifs, selon que les vitesses virtuelles dp, dq, etc., seront positives ou négatives;

et lorsqu'on voudra faire agir les forces en sens contraire, il n'y aura qu'à donner le signe moins aux quantités qui représentent ces forces, ou changei' les signes de leiu-s moments.

Il résulte de là cette propriété générale de l'équilibre, qu'un système quelconque de forces en équilibre y demeure encore si chacune des forces vient à agir en sens contraire, pourvu que la constitution du système ne souffre aucun changement par un changement de direction de toutes les forces.

4. Quelles que soient les forces qui agissent sur un système donné de corps ou de points, on peut toujours les regarder comme tendantes vers des points placés dans les lignes de leur direction.

Nous nommerons ces points les centres des forces, et l'on pourra prendre pour les Ugnes/j, q, r, etc., les distances respectives de ces centres aux points du système auquel les forces P, Q, R, etc., sont appliquées. Dans ce cas, il est clair que ces forces tendront à diminuer les lignes p, q, r, etc.; il faudrait, par conséquent, donner le signe moins à leurs différentielles ; mais en changeant tous les signes, la formule générale sera également

Pdp -H Qdq -h Rdr -\- ... = o.

Or les centres des forces peuvent être hors du système,, ou bien dans le système et en faire partie, ce qui distingue les forces en extérieures et intérieures .

Dans le premier cas, il est visible que les différences dp, dq, dr, etc., expriment les variations entières des lignes p, q, r, etc., dues au changement de situation du système; elles sont, par conséquent, les différentielles complètes des quantités^, q, r, etc., eny regardant comme variables toutes les quantités relatives à la situation du système, et comme constantes celles qui se rapportent à la position des différents centres des forces.

Dans le second cas, quelques-uns des corps du système seront eux-mêmes les centres des forces qui agissent sur d'autres corps du même système, et, à cause de l'égalité entre l'action et la réaction, ces derniers corps seront en même temps les centres des forces qui agissent sur les premiers.

Considérons donc deux corps (") qui agissent l'un sur l'autre avec une force

(*': Le mot ce.vps, ici comme plus liant, tlési(,'ne un point matériel, (/. Bertrand.)