PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

des forces P et Q étant supposées toutes deux positives, on aura, pour l'équilibre,

^ ^= — —--, ou bien ^dp -h ^dq ^= o ;

c'est la formule générale de l'équilibre de deux puissances.

Considérons maintenant l'équilibre de trois puissances P, Q, R, dont les vitesses virtuelles soient représentées par les différentielles dp^dq, dr. Faisons Q ^:^ Q'-h Q", et supposons, ce qui est permis, que la partie Q' (*) de la forceQ soit telle, qu'on ait Vdp + Q'f/(/ ^== o; elle fera alors équilibre à la force P, et il faudra, pour l'équilibre entier, que l'autre partie Q" de la même force Q, fasse seule équilibre à la troisième force R ; ce qui donnera l'équation

Q"dq -h V\.dr =^ o,

laquelle étant jointe à l'équation précédente, on aura, àcausedeQ'-|-Q'''^Q, celle-ci :

^dp + (^dq + R^r = o.

S'il y a une quatrième puissance S dont la vitesse virtuelle soit représentée par la différentielle ds, on fera

Q = Q'-^Q" et Vdp-i-(l'dq = o, ensuite

R = R' .^ R" et (^'dq ^^dr = o.

Alors la partie Q' de la force Q fera seule équilibre à la force P ; la partie R' de la force R fera de même équilibre à l'autre partie Q" de la même force Q, et, pour l'équilibre total des quatre forces P, Q, R, S, il faudra que la partie restante R" de la force R fasse équilibre à la dernière force S, et que, par

{*) Ce raisonnement n'est exact qu'autant que l'on considère un déplacement déterminé du système. Si l'on ne fait pas cette restriction , le rapport — peut recevoir tontes les valeurs possibles ,

et l'équation Vdp + ^ dq := o ne peut être satisfaite pour aucune valeur déterminée de Q'. Il faudrait, par conséquenf, pour compléter la démonstration de Lagrange, l'appliquer successivement à tous les déplacements possibles du système, en introduisant, à chaque fois, des liaisons nouvelles qui empêchent les autres déplacemenis de se produire. Lagrange, du reste, fait lui-même cette remarque (deuxième section, paragraphe IS). (/. Bertrand.)

Méc. annl. I, 4

■2i', MECANIQUE ANALYTIQUE.

(.xmséqueiit, on ait

R'Vr H- Srfi' =: o.

(^es trois équations étant jointes ensemble donneront

Vdp -h Qdg + Rdr -+- Sds = o.

Ainsi de suite, quel que soit le nombre des puissances en équilibre.

2. On a donc, en général, pour l'équilibre d'un nombre quelconque de puissances P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes/», q, r, etc., et appliquées à un système quelconque de corps ou points disposés entre eux d'une manière quelconque, nne équation de cette forme:

Vd/j -h Qdtj -\- Rdr -h . . . = o.

C'est la formule générale de la Statique pour l'équilibre d'un système <juelconque de puissances.

Nous nommerons chaque terme de cette formule, tel que Pdp, le moment de la force P, en prenant le mot de moment dans le sens que Galilée lui a donné, c'est-à-dire pour le produit de la force par sa vitesse virtuelle. De sorte que la formule générale de la Statique consistera dans l'égalité à zéro de la somme des moments de toutes les forces.

Pour faire usage de cette formule, la difficulté se réduira à déterminer, conformément à la nature du système donné, les valeurs des différentielles dp, dq, dr, etc.

On considérera donc le système dans deux positions différentes et iiilinlment voisines, et l'on cherchera les expressions les plus générales des différences dont il s'agit, en introduisant dans ces expressions autant de quantités indéterminées qu'il y aura d'éléments arbitraires dans la variation de position du système. On substituera ensuite ces expressions de dp, dq, dr, etc. , dans l'équation proposée, et il faudra que cette équation ait lieu, indépendamment de toutes les indéterminées, alin que l'équilibre du système subsiste en général et dans tons les sens. On égalera donc séparément à zéro la somme des termes affectés de chacune des mêmes indéterminées, et l'on aura, par ce moyen, autant d'équations particulières qu'il y aura de ces indéter-