PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE
Donc les trois équations ci-dessus deviendront
P cosa -h P'cosa' ■+■ P" cosa"-|- - . . ^^ o, Pcos jS-i-P'cosjB' -hP"cos(3" -h . . . =: g, Pcosy H-P'cosy'-h P"cos')'"-f- ... ^=0,
lesquelles devront nécessairement avoir lieu dans l'équilibre d'un système libre. Ce sont les équations nécessaires pour empêcher le mouvement de translation.
4. Si les puissances P, P', P", etc., étaient parallèles, on aurait
et les trois équations précédentes se réduiraient a celle-ci : P + P'+P"-^ . . .^o,
laquelle montre que la somme des forces parallèles doit être nulle.
En général, il est facile de concevoir que P représentant l'action totale de la puissance P suivant sa propre direction, Pcosa représentera son action relative, estimée suivant la direction de l'axe des x, lequel fait l'angle a avec la direction de la force P ; de même, Pcas|3 et Pcosy seront les actions relatives de la même force, estimées suivant la direction des axes de y et z; et ainsi des autres forces P', P", etc.
De là résulte ce théorème de Statique, que la somme des puissances estimées suivant la direction de trois axes perpendiculaires entre eux, doit être nulle par rapport à chacun de ces axes dans l'équilibre d'un système libre.
$ II. — Propriétés de l'équilibre relatives au mouvement de rotation.
o. Prenons maintenant, ce qui est permis, à la place des coordonnées x,)^,
x' ,y' -fX' ,y" ^eXc.., x,f, etc., les rayons vecteurs p, p', p", etc., p, etc., avec les angles <p, <p', ç", etc., ip, etc., que ces rayons font avec l'axe des x; on aura, comme l'on sait,
et, de même,
S(p, f ^=^ psm<p,
= p cosç , y ^^p sin;p ,
= pcos(p, y = psin<p,
Faisons ces substitutions dans la formule générale de l'art. 2, et supposons
? =^ ip H- (7, ip'^ =^ rp -i- (t' , . ■ . , <p =^ cp -\~ a- , . . . ;
il est visible que or, cr', etc. , cr, etc. , seront les angles que les rayons p', p", etc. , p, etc., forment avec le rayon p; par conséquent, les distances des corps, tant entre eux que par rapportai! plan des x,y, et au point qui est pris pour l'origine des coordonnées, dépendront uniquement des quantités p,p'î p", etc. , p, etc., cr, o-', etc., (T, etc., z, z', z" , etc., s, etc.
Donc, si le système a la liberté de tourner autour de ce point parallèlement au plan des es, y, c'est-à-dire autour de l'axe des z, qui est perpendiculaire à ce plan, l'angle tp sera indépendant des conditions du système, et sa différence d(p demeurera, par conséquent, arbitraire. D'où il suit que les ténnes affectés de d^ dans l'équation générale de l'équilibre, devront être ensemble égaux à zéro.
11 est facile de voir (jue tous ces termes seront représentés par Ni/?, en faisant
N = p* + p'^e:-HP"^' + ... + p#H-...,
<-/ç dij3 rfy rfç '
de sorte que l'on aura pour l'équilibre l'équation N = o.
En substituant les valeurs de x, y, x' ,y' , etc. , x, y, etc. , dans les expressions âe p, p' , etc., p, etc. (art. 2), et faisant de plus
« = RcosA, è=:RsinA, «'=;R'cosA', 6':^ R' sinB',...,
— 2pRcos(® ~ A) -h R^ 4- (s — e)%
■ — 3 p'R CCS {?' — A') + R'' + {z' — c'y,
— 2ppcos{q)~ (?) -^ p^H- {z— zy,
ou il faudra encore mettre <p -i- a-, (p -h cr', etc. , ^ -\- a, etc. , à la place de <p', <p", etc., p, etc.
