PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

Par ces dernières substitutions, on voit d'abord que les quantités yy, etc. ,

ne contiendront plus l'angle ip ; ainsi on aura -^ =o, etc. : par conséquent,

les forces intérieures P, etc., dispai'aîtront de l'équation, et il n'y restera que les forces extérieures P, P', etc. Ensuite on aura

dp pB.sm(y— A) dp' p'R'sm ( / — A ')

df""" p d9 p'

et la quantité N deviendra

N = Pttpsm(y-A) ^ P'R'p'sm(y--A') ^ p p'

Comme on peut prendre les centres des forces P, P', etc., partout où l'on veut dans la direction de ces forces, on peut supposer que ces forces soient représentées par les lignes mêmes p,p', etc., qui sont les distances rectilignes de leurs points d'application aux centres respectifs. De cette manière, on aura plus simplement

N = Rp sin(.îi — à) + R'p' sin((p' — A') + ....

Dans cette formule, les rayons R et p, qui partent de l'origine des coordonnées et qui renferment l'angle <p — A, sont les côtés d'un triangle qui ii pour base la projection de la ligne p sur le plan des x, y ; par conséquent, la quantité Rpsin((p — A) exprime le double de l'aire de ce triangle, et ainsi des autres quantités semblables.

Or, ayant nommé ci-dessus {art. 3) ■)/, ^', etc., les angles que les directions des forces P, P', etc. , font avec l'axe des s qu avec des parallèles à cet axe, il est clair que les compléments de ces angles seront les inclinaisons des lignes /ï, p' , etc. , au plan des ^, y : donc p sin t-, p' sin y', etc. , seront les projections de ces lignes; et si de l'origine des coordonnées on abaisse sur ces projections des perpendiculaires que nous nommerons n, n', etc., on aura

Rpsin (jp — A) =np sin 7, R'p' sin (^' — A') =n'p' &my', . . . ,

et la quantité N se réduira à la forme

N =nPsin'>' -j- n'P'sm7' + n"P"sin-)'" + . . .^

eu remettant P, P', P", etc., à la place de p^ p' , p" , etc.

G, L'équation N i::::; o donnera ainsi le théorème suivant : Dans l'équilibre d'un système qui a la liberté de tourner autour d'un axe, et qui est composé de corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière que/conque et sont en même temps tirés par des forces extérieures, la somme de ces forces, estimées parallèlement à un plan perpendiculaire à faxe, et multipliées chacune par la perpendiculaire menée de Vaxe a la direction de la force projetée sur le même plan, doit être nulle, en donnant des signes contraires aux forces dont les directions tendent à faire tourner le système dans des sens contraires.

On énonce ordinairement ce théorème d'une manière plus simple, en disant que les moments des forces, par rapport à un axe, doivent se détruire pour qu'il y ait équilibre autour de cet axe. Car on entend aujourd'hui en Mécanique, par moment d'une force ou puissance par rapport à une ligne, le produit de cette force estimée parallèlement a un plan perpendiculaire à cette ligne, et multipliée par son bras de levier, qui est la perpendiculaire menée de cette ligne sur la direction de la puissance rapportée au même plan. En effet, c'est uniquement de ce moment que dépend l'action de la force pour faire tourner le système autour de l'axe ; puisque si on la décompose en deux, l'une parallèle à l'axe, l'autre dans un plan perpendiculaire à l'axe, il n'y aura évidemment que cette dernière qui puisse produire une rotation. Nous donnerons, en conséquence, à ce moment le nom particulier de moment relatif à un axe de rotation.

7. Le coefficient N du terme Ndç (art. 5) exprime, comme on le voit, la somme des moments de toutes les forces du système, relativement à l'axe de la rotation instantanée dip. Ainsi, pour trouver la somme de ces moments relatifs à un axe quelconque, il n'y aura qu'à transformer la formule générale

Pdp -h P'dp' H- P"dp" -h ...,

qui exprime la somme des moments virtuels de toutes les forces, en y intro-