PREMIERE PARTIE. — I.A STATIQUE. y

nombre fini de points, les réfluctions et les modifications que demande le passag-e du fini à l'infini.

Ce procédé est, comme l'on voit, analogue aux méthodes géométriques et analytiques qui ont précédé le calcul infinitésimal ; et si ce calcul a l'avantage de faciliter et de simplifier d'une manière surprenante les solutions des questions qui ont rapport aux courbes, il ne le doit qu'à ce qu'il considère ces lignes en elles-mêmes, et comme courbes, sans avoir besoin de les regarder, premièrement comme polyg'ones, et ensuite comme courbes. I! y aura donc, à peu près, le même avantage à traiter les problèmes de Mécanique dont il est question par des voies directes, et en considérant immédiatement les corps de masses finies comme des assemblages d'une infinité de points ou corpuscules animés chacun par des forces données. Or rien n'est plus facile que de modifier et simplifier par cette considération, la méthode générale que nous venons de donner.

10. Mais il est nécessaire de remarquer, avant tout, (jue, dans l'application de cette méthode aux corps d'une ma.sse finie, dont tous les points sont animés par des forces quelconques, il se présente naturellement deux sortes de différentielles qu'il faut bien distinguer. Les unes se rapportent aux différents points qui composent le corps; les autres sont indépendantes de la position mutuelle de ces points, et représentent seulement les espaces infiniment petits que chaque point peut parcourir, en supposant que la situation du corps varie infiniment peu. Comme jusqu'ici nous n'avons eu qwe des différences de cette dernière espèce a considérer, nous les avons dé.signées par la caractéristique ordinaire d; mais puisque nous devons maintenant avoir égard aux deux espèces de différences à la fois, et qu'il est, par conséquent, nécessaire d'introduire une nouvelle caractéristique, il nous paraît à propos d'employer l'ancienne caractéristique d pour désigner les différences de la première espèce qui sont analogues à celles que l'on considère communément en Géométrie, et de dénoter les différences de la seconde espèce qui sont particulières à la matière que nous traitons par la caractéristique (T, employée dans le Calcul des variations, avec lequel celui dont il s'agit ici a une liaison intime et nécessaire.

Nous nommerons même, par cette raison, -variations les différences affec-

■jS MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

tées de S, et nous conserverons le nom de différentielles à celles qui sont affectées de d. Du reste, les mêmes formules qui donnent les différentielles ordinaires donneront aussi les variations, en substituant ^ à la place de d.

11. Je remarque ensuite qu'au lieu de considérer la masse doiniée comme un assemblage dune infinité de points contigus, il faudra, suivant l'esprit du calcul infinitésimal, la considérer plutôt conmie composée d'éléments infiniment petits, qui soient du même ordre de dimension que la masse entière; qu'ainsi, pour avoir les fo:'ces qui animent chacun de ces éléments, il faudra multiplier par ces mêmes éléments les forces P, Q, R, etc., qu'on suppose appliquées à chaque point de ces éléments, et qu'on regardera comme des forces accélératrices analogues à celles qui proviennent de l'action de la gravité.

Si donc on nomme m la masse totale et dm un de ses éléments quelconque, on aura Vdm, Qcïm, R(/m, etc., pour les forces qui tirent l'élément dm suivant les directions des lignes^, y, r, etc. Donc, multipliant respectivement ces forces par les variations Sp, S'q, St, etc. , on aura leurs moments, dont la somme, pour chaque élément f^m, sera représentée par la formule

(PSp + QSq^K^r-h ...)dmi

et, pour avoir la somme des moments de toutes les forces du système, il n'y aura qu'à prendre l'intégrale de cette formule par rapport à toute la masse doimée.

Nous dénoterons ces intégrales totales, c'est-à-dire relatives à l'étendue de toute la masse, par la caractéristique majuscule S, en conservant la caractéristique ordinaire f pour désigner les intégrales partielles ou indéfinies.

12. On aura ainsi, pour la somme des moments de toutes les forces dn système, la formule intégrale

H{Vê'p^qSq 4-Fl-îr-H ...)^m;

et cette quantité devra être nulle, en général, dans l'état d'équilibre du système.

Comme par la nature du système il y a nécessairement des rapports donnés entre les différentes variations Sp, S'q, Sr, etc., relatives à chaque point de la masse, il faudra les réduire à un certain nombre de variations